🌐 Математическая загадка: сфера и 5 точек на поверхности

Если на поверхности сферы есть 5 точек, то существует замкнутая полусфера, содержащая по крайней мере 4 из них.

Задача: На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
б) Та же задача для n отмеченных точек.

Решение:
а) Перейдём к двойственным объектам: каждой окружности соответствует такая пара противоположных точек сферы, что соединяющий их диаметр перпендикулярен этой окружности; наоборот, каждой точке соответствует большая окружность. Тогда задача сводится к двойственной: точки считаются эквивалентными, если можно одну перевести в другую, не задевая пяти данных больших окружностей (никакие три из которых не пересекаются в одной точке). Очевидно, точку можно перемещать в пределах области, на которые большие окружности делят сферу. Таким образом, число классов эквивалентности в два раза меньше числа частей, на которые большие окружности делят сферу (противоположным частям соответствует один класс, так как исходной большой окружности в двойственной задаче соответствуют две диаметрально противоположные точки).
Учтем, что n наших больших окружностей делят сферу на n² – n + 2 части. В частности, пять окружностей разобьют сферу на 22 части. А ответ, как показано выше, в два раза меньше.
б) см. а)

#геометрия #видеоуроки #олимпиады #problems #задачи #опыты #эксперименты #math

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ Потрясающий процесс производства промышленных шестерен

Производство промышленных шестерён включает несколько этапов: литьё, ковку и механическую обработку. Конкретный процесс зависит от типа шестерни, материала и желаемого уровня точности.

▪️ Литьё — процесс заливки расплавленного металла в форму, которая имеет конфигурацию требуемой детали. После затвердевания металла получается заготовка, близкая к конечному изделию.
▪️ Ковка — процесс, который формирует металлические сплавы в шестерни путём пластической деформации под высоким давлением в штампах.
▪️ Механическая обработка — процессы, которые вырезают профиль зубьев шестерни из заготовки для достижения требуемой геометрии, размеров и качества поверхности.

#физика #металл #горение #техника #наука #промышленность #science #сопромат #геометрия #механика

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

〰️ Создание наклонных труб путем скручивания плоскостей, ограниченных синусоидами

Процесс создания такой трубы включает несколько этапов, которые выполняются в САПР-системах (например, AutoCAD, Inventor, «КОМПАС-3D»):

▪️1. Построение базового участка. Рисуется прямой или изогнутый участок, который будет служить основой для трубы.

▪️2. Создание эскиза. На торце базового участка делается скетч, задаётся угол, если нужно, дорисовывается изогнутый участок.

▪️3. Скручивание плоскостей. Плоскости, ограниченные синусоидами, скручивается вокруг базовой оси, при этом профиль трубы формируется автоматически.

▪️4. Редактирование трассы. Если трасса не устраивает, можно изменить расстояния и углы между плоскостями.

После этого получается 3D-модель трубы, гнутой в разных плоскостях, которая может быть использована для проектирования реальных конструкций.

❓ Вопрос для подписчиков: Можете ли вы математически доказать, что две поверхности, ограниченные синусоидой, при скручивании дадут цилиндрическую трубу с определенным наклоном? И как наклон трубы в градусах будет зависеть от амплитуды синусоиды? #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif #science #опыты #задачи

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib