🧬 Трюк с поясом Дирака, топология и частицы со спином ½

В математике и физике трюк с тарелкой, также известный как трюк с струной Дирака (в честь Поля Дирака, который его ввел и популяризировал), трюк с поясом или трюк с балийской чашкой (он появляется в балийском танце со свечами ), является одной из нескольких демонстраций идеи о том, что вращение объекта с прикрепленными к нему струнами на 360 градусов не возвращает систему в исходное состояние, в то время как второе вращение на 360 градусов, общий поворот на 720 градусов, возвращает. Математически это демонстрация теоремы о том, что SU(2) (которая дважды покрывает SO(3) ) односвязна . Сказать, что SU(2) дважды покрывает SO(3), по сути, означает, что единичные кватернионы представляют группу вращений дважды.

☕️ Демонстрации: Положив небольшую пластину на ладонь, можно выполнить два вращения руки, удерживая пластину вертикально. После первого вращения руки рука будет скручена, но после второго вращения она окажется в исходном положении. Для этого рука делает одно вращение, проходя над локтем, скручивая руку, а затем еще одно вращение, проходя под локтем, раскручивает ее.

В математической физике этот трюк иллюстрирует кватернионную математику, лежащую в основе спина спиноров. Как и в случае с трюком с пластиной, спины этих частиц возвращаются в исходное состояние только после двух полных оборотов, а не после одного.

Dirac's Belt Trick: Why a 2π rotation twists space but a 4π rotation fixes it: When you twist your arm or a belt by 360 degrees, the hand or endpoint is back to where it started but the rest of your arm or belt is still twisted. But if you do a 720 degree twist, you can manage to untwist your arm or belt! This is known as Dirac's Belt Trick or the Balinese Cup Trick. This crazy fact is even connected to physics with spin 1/2 particles, so let's try and figure out why! We will study rotations in 2 and 3 dimensions, and specifically study them topologically as opposed to algebraically as you might have seen before with rotation matrices. For a 2D rotation this is identified with points on a circle S^1. For a 3D rotation we need both an axis or rotation and an angle of rotation and we identify this with the solid ball of radius π where a point in the ball gives a vector from the origin to the point that is our axis of rotation and the length of this vector is the angle. There is a catch: we have a double counting along the boundary so we have to identify antipodal points as the same. If you eliminate the origin (ie no rotation) this is sometimes called the Special Orthogonal Group SO(3) which is topologically the same as 3D Real Projective Space RP(3). A belt is then a path and I show an explicit way I can continuously deform the 4π rotation path back to the identity. #топология #математика #физика #math #science

🔴 Кватернионы, повороты пространства и правильные многогранники

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib