Завтра первое сентября, а у меня первая лекция по матану для нового первого курса. И перезапуск этого канала!

Сотни тысяч студентов самых разных специальностей в ближайшие дни придут в аудитории и столкнутся там с функциями и пределами, эпсилонами и дельтами, теоремами Коши и Вейерштрасса. Чтобы это столкновение было менее травматичным, я бы хотел, чтобы все студенты знали об учебнике, который я написал в прошлом году.

Это, насколько я знаю, наиболее подробный и дружелюбный учебник по матану (в его «серьёзной» версии, с пределами), существующий на русском языке. Он бесплатный. Он электронный. Он (в меру) интерактивный. В нём много картинок (и чуть-чуть анимаций). Его можно читать с мобильного телефона (ну окей, я не успел оптимизировать все главы под экраны мобильных, но первая половина готова). Он совместим со скринридерами — и значит доступен для незрячих. Он лежит здесь: https://calculus.mathbook.info/

Впрочем, можно не просто читать учебник. (Вообще, чтением матан не выучишь.) Традиционно я выкладываю в открытый доступ все материалы нашего курса для Совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ — семинарские задачи, домашки, дополнительные задания. В этом году мы будем выкладывать видео всех лекций. (Студенты единогласно признали, что доступность видео — главный плюс удалёнки, и мы сохраним его и в очном формате.) Чтобы вам было проще следить, я буду сообщать о появлении материалов в этом телеграм-канале («Матан без котиков»).

Редкий случай, когда я прошу о репосте и вообще о распространении информации. Если среди ваших знакомых есть студенты, родители студентов или любые другие люди, которым может быть полезен этот учебник — скиньте им ссылку. Уверен, что это будет реальной помощью в учёбе. И вообще, мне хочется задать новый стандарт учебных текстов на русском языке, а для этого нужно, чтобы об этом учебнике узнали все-все-все. Помогайте! А я буду его и дальше улучшать.

P.S. Если вы уже выучили матан и теперь собираетесь учить диффуры, у меня есть учебник и про них: https://ode.mathbook.info

Ого, сколько народа! Всем привет! :)

Прошла первая неделя нового учебного года, и вот её материалы:

Лекция 1. Множества, отображения и числа: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:01:setsnumbers/

Тут ничего особо страшного не происходит, в основном, вводится терминология.

Вот видео этой лекции: https://youtu.be/xttqkiP-pD4 — по крайней мере, той части, которую я успел рассказать. Там не очень хорошее качество (дальше я буду пользоваться немножко другой технологией), но уж что есть.

Вот семинарский листок: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar01.pdf — хотя не все задачи имеют отношение к лекции, полезно их порешать в качестве разминки.

Лекция 2.
Введение в математическую логику. https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:02:logic/

Лекция без картинок. Мы начинаем с безобидного исчисления высказываний (и булевой алгебры) и заканчиваем уже внушительно выглядящими формулами с кванторами и предикатами. Дальше мы будем постоянно использовать введённый здесь математический язык, так что это, в некотором смысле, самая важная лекция.

Семинарский листок: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar02.pdf — вы не можете считать, что поняли материал про кванторы, до тех пор, пока не решили все задачи из этого листка (ну кроме задач под звёздочкой).

Видео пока нет, но будет.

Хороших выходных!

А вот и видео второй лекции подъехало: https://www.youtube.com/watch?v=dpNeHN1vcv8 — звук стал хуже, картинка лучше 🙂

Вторая неделя! И уже прямо всё серьёзно.

Лекция номер 3. Индукция и последовательности. https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:03:seq/

Наверное, все слышали про математическую индукцию. Тут аккуратно сформулировано, как она работает. Потом обсуждаем последовательности — кто они такие и какими бывают. Заодно доказываем первое нетривиальное утверждение с кванторами. Бонус: теорема Кантора о несчётности множества вещественных чисел.

Видео: https://www.youtube.com/watch?v=ZdSxYyHWlcM — прямо в ходе лекции записать не удалось, пришлось записывать отдельно. Поэтому там нормальный звук 🙂

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar03.pdf — в основном, про индукцию. Мне особенно нравятся 10-я и 12-я.

Четвёртая лекция. Понятие предела последовательности. https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:04:lim-seq/

Это о-очень длинный конспект про о-очень важное понятие. Многобукв. И картинок тоже.

Видео: https://youtu.be/XThL-bIAME8 — с пылу с жару, прямо из аудитории.

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar04.pdf — там есть задачи про бесконечные пределы, их на лекциях пока не обсуждали, обсудим в следующий раз, пока можно пропустить. Поначалу может быть сложно, много непривычной техники. Но если разобраться, вы увидите, что всё не так уж и сложно. (Ну хорошо, кого я обманываю — сложно.)

В этом канале слишком мало мемов

Предыдущая неделя была суматошная, и я не написал традиционное сообщение об очередных лекциях. Лучше поздно, чем никогда!

Лекция 5. Свойства пределов. Тут моя любимая картинка — иллюстрация к теореме о пределе суммы. Начинается классическая матанистская техника — возьмём эпсилон, который нам дан, подставим его в определение предела, которое нам дано, получим какое-то N_1, что-нибудь с ним сделаем и получим то N, которое нам нужно. А потом докажем, что оно работает. Поначалу сложно — нужно аккуратно следить, что нам дано, а что нужно доказать — но если разобраться, становится не очень сложно.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:05:lim-properties/

Видео: https://youtu.be/vK3n3J4mbho

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar05.pdf

Лекция 6. Ещё о свойствах пределов. Мы докажем теоремы о пределе произведения и разберёмся с пределом частного. Попутно введём полезное понятие «отделенности от числа».

Конспект: предел произведения, предел частного.

Видео: https://youtu.be/bkTI05-ZPH8

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar06.pdf

Лекция 7. Пределы и неравенства, теорема о двух милиционерах и кое-что о бесконечных пределах.

В последней части поговорим о том, что бывает, если поделить одну бесконечность на другую, или единицу на бесконечность, или даже единицу на ноль. (Впервые со школы нам разрешили делить на ноль! Ради этого стоило выучить определение предела, правда?)

Конспект: Пределы и неравенства, теорема о двух милиционерах, вокруг бесконечных пределов.

Видео: https://youtu.be/ExKXEo964O4

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar07.pdf

Так, я слегка пропал; возвращаюсь 🙂

Лекция 8. Теорема Вейерштрасса, немного комбинаторики и число e.

Научимся доказывать, что предел существует, даже когда его нельзя найти явно — с помощью теоремы Вейерштрасса. Она основана на фундаментальном факте о числовой прямой: среди вещественных чисел нет «дырок» (в отличие, например, от рациональных — несмотря на то, что они всюду плотны, и между двумя рациональными числами есть бесконечно много других рациональных чисел, «дырки» между ними тоже есть — при построении вещественных чисел они заполняются как раз иррациональными числами.)

Эта теорема нам понадобится, в частности, чтобы построить число e. А ещё понадобится бином Ньютона и немного комбинаторики.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:08:weierstrass/

Видео: https://youtu.be/0r39FEXoG5M

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar08.pdf

Лекция 9. Подпоследовательности, предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса. Учимся искать пределы даже там, где их нет :) Попутно доказываем важную теорему о вложенных отрезках и применяем простой, но полезный метод деления отрезка пополам (он нам ещё пригодится).

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:09:limitpoints/

Видео: не записалось, может быть, позже сделаю.

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar09.pdf

Лекция 10. Предел функции.

Мы покидаем уже ставший знакомым мир последовательностей и переходим к новому объекту — функциям; вернее, числовым функциям одного аргумента. Это основной объект изучения нашей части матанализа.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:10:limfunc/

Видео: https://youtu.be/SIwqtr6oUz8

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar10.pdf

Лекция 11. Предел функции по Коши и по Гейне.

Тут понятия предела последовательности и предела функции сходятся вместе, и получается предел по Гейне. Оказывается (это основная часть этой лекции), что предел по Гейне эквивалентен пределу по Коши (это то понятие предела, которое изучалось на прошлой лекции).

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:11:heine/

Видео: https://youtu.be/dQpGzGV8rWo

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar11.pdf

Уфф, всё на сегодня. Но завтра будет новая лекция!

Субботний матан:

Лекция 12: Бесконечные пределы и асимптоты.

Мы обсуждали, что последовательности могут не только иметь какой-то конечный предел, но и стремиться к бесконечности. Функции тоже. Более того, в случае функций, x тоже может стремиться к конечному числу (как было раньше) или к бесконечности. Возникает куча разных случаев. Обсудим, как они устроены, и что бесконечные пределы говорят про графики функций.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:12:asymptote/

Видео: https://youtu.be/xkEI5yDchBI

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar12.pdf

Лекция 13. Непрерывность.

Понятие непрерывной зависимости — очень естественное и жизненное. Если вы немножко пошевелите значение одного параметра системы, как правило, можно ожидать, что другие, зависимые от него параметры системы также изменятся не слишком сильно. На этом основана, например, работа любых численных методов — компьютеры не умеют работать с настоящими вещественными числами (в вещественном числе бесконечно много цифр и они не поместятся в память), а работают с приближениями. Тот факт, что результаты таких приближенных вычислений всё равно оказываются полезны — следствие непрерывности.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:13:continuity/

Видео: https://youtu.be/dQHE17MUtfE

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar13.pdf

Суровый матан-мем от @mariaservetnik

Что почитать на «нерабочей неделе»? Лекции по матану!

Лекция 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Понятие непрерывности функции в точке опирается на понятие предела и является, как говорят, локальным — оно зависит только от того, как функция ведёт себя в произвольно малой окрестности точки. Нас же зачастую интересуют глобальные свойства функций — например, является ли функция ограниченной, достигает ли своего максимума и минимума, имеет ли корни? Оказывается, в некоторых случаях можно перейти от локальных свойств к глобальным. Этот переход кажется простым, но часто эта простота обманчива. Например, мы знаем, что если функция непрерывна в какой-то точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (т.к. имеет предел). Пусть теперь функция непрерывна во всех точках некоторого множества. Значит ли это, что она будет ограничена на этом множестве? Оказывается, нет: например, функция f(x)=1/x является непрерывной в любой точке интервала (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.

В этой лекции мы обсудим несколько глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Они нам понадобятся в дальнейшем.

Лекция: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:14:cont-segment/ (и небольшой кусочек отсюда: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/#label_subsection_number_17_2_1 )

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar14.pdf

Видео: https://youtu.be/75uxoVZbktk

Лекция 15. Производная функции

С понятия производной, собственно, начался анализ — сначала возникла необходимость описать понятие «мгновенной скорости», а потом под это был разработан аппарат пределов (пригодившийся, впрочем, и в других ситуациях). Производную проходят в школе, поэтому чаще всего выпускники школ знают, как её находить — но зачастую плохо понимают, что это такое. Поэтому мы подробно поговорим о том, что такое производная, какими бывают дифференцируемые и недифференцируемые функции и что именно дифференцируемость говорит о функции.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:15:derivative/#label_chap_15_derivative

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar15.pdf

Видео: https://youtu.be/nFGNjX5ODec

А вот новая порция лекций.

Лекция 16. Нахождение производных

Считать производные по определению — занятие весёлое (я был в большом восторге, когда в детстве про это узнал, и увидел, что оно действительно работает), но муторное. Поэтому нам пригодятся правила вычисления производных. Они в какой-то мере повторяют правила вычисления пределов — есть теоремы о пределе суммы (простая), произведения (в отличие от предела, производная произведения не равна произведению производных!) и сложной функции. О них-то мы и поговорим.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:16:finding-deriv

Видео: https://youtu.be/1Jc-O4E3V3c

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar16.pdf

Лекция 17. Применение производных

Ну хорошо, мы научились находить производные. Но зачем они нужны? Какие точно факты про функцию мы можем узнать, если знаем её производную? Из определения понятно, что производная должна быть связана с возростанием и убыванием, но как точно?

Оказывается, тут не всё так просто. Например, утверждение «если производная в точке положительна, то функция возрастает в некоторой окрестности этой точки», неверна — контрпример является, например, функция на картинке. А как правильно?

Помимо ответа на этот вопрос, мы обсудим теоремы Ролля и Лагранжа — ключевые утверждения, позволяющие переходить от локальных свойств функций, связанных с производными, к глобальным.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/

Видео: https://youtu.be/IPu5ymeJbHQ и начало https://youtu.be/rCM_omW0rBA

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar17.pdf