Лекция 18. Обратные функции и их производные

Бывают обратимые функции — это те, которые не переводят две разные точки в одну и ту же. Например, функция x^3 обратима, и у неё есть обратная — это кубической корень. Часто интересующие нас функции не являются обратимыми на всей области определения, но становятся обратимыми, если их ограничить на какое-то меньшее подмножество.

Проблема в том, что не для всякой функции, заданной формулой, можно записать обратную функцию в виде формулы. Однако, одно из достижений анализа состоит в том, что далеко не всегда нужно знать формулу, задающую функцию, чтобы узнать всё необходимое о поведении этой функции.

Например, если вы знаете, что функция дифференцируема, непрерывна и обратима, то вы можете найти производную её обратной, даже не имея явной формулы для этой обратной.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:18:inv-fun-deriv/

Видео: https://youtu.be/rCM_omW0rBA?t=2780

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar18.pdf

Я знаю, вы подписались на этот канал ради лекций по матанализу, но сейчас я вынужден написать на совсем другую тему. Реальность, в которой я писал этот учебник, уничтожена. Россия напала на Украину и ведёт войну, каждый день гибнут люди, и наша страна закономерно превращается в страну-изгоя, изолированную от всего окружающего мира. Вероятнее всего, вы учили матан, чтобы найти хорошую работу в какой-то высокотехнологичной отрасли или заниматься наукой. Но на ближайшие десятилетия в России не будет высоких технологий и науки — потому что они основаны на международном сотрудничестве.

И самое страшное — всё, что происходит сейчас, делается от имени нас с вами — народа России. Это клеймно останется с нами навсегда. Через десятки лет в разных концах мира к нам будут относиться как к гражданам страны-агрессора, ответственной за развязывание страшной войны.

У нас нет простого способа остановить войну, но мы обязаны попытаться это сделать. Сегодня, с 14:00 по всей стране пройдут (и уже идут) митинги протеста против войны. Выйти на них страшно — они не согласованные, и там могут задержать. Но судьба нашей страны сейчас гораздо страшнее.

К сожалению, я не смогу принять участие в митингах сам, т.к. был вынужден уехать из России — меня пытались арестовать как раз за распространение информации о митингах. Однако, я выходил на несогласованные протестные акции много раз, по разным поводам, и в частности был на антивоенной акции неделю назад. Она была малочисленной, и поэтому более опасной — чем меньше людей, тем проще попасть под задержание. Нынешняя акция будет большой, и значит более безопасной. Если вы хотите выйти, надо выходить сегодня.

Подробнее можно узнать в канале движения «Весна» (https://yangx.top/vesna_democrat) и других источниках.

Будьте осторожны, берегите себя, и если у вас будут какие-то вопросы — пишите.

Кстати, я поздновато написал это сообщение, но если вы думаете, что выходить уже поздно — то нет, в самый раз. Мы обычно опаздывали на митинги на час, и в это время как правило всё только начиналось — по крайней мере, в Москве. Самый опасный момент — когда людей мало, например, они уже расходятся — тогда риски задержания максимальны. Старайтесь держаться ближе к другим протестующим.

Часть протестующих начала шествие от Охотного ряда до Манежа