Предыдущая неделя была суматошная, и я не написал традиционное сообщение об очередных лекциях. Лучше поздно, чем никогда!

Лекция 5. Свойства пределов. Тут моя любимая картинка — иллюстрация к теореме о пределе суммы. Начинается классическая матанистская техника — возьмём эпсилон, который нам дан, подставим его в определение предела, которое нам дано, получим какое-то N_1, что-нибудь с ним сделаем и получим то N, которое нам нужно. А потом докажем, что оно работает. Поначалу сложно — нужно аккуратно следить, что нам дано, а что нужно доказать — но если разобраться, становится не очень сложно.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:05:lim-properties/

Видео: https://youtu.be/vK3n3J4mbho

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar05.pdf

Лекция 6. Ещё о свойствах пределов. Мы докажем теоремы о пределе произведения и разберёмся с пределом частного. Попутно введём полезное понятие «отделенности от числа».

Конспект: предел произведения, предел частного.

Видео: https://youtu.be/bkTI05-ZPH8

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar06.pdf

Лекция 7. Пределы и неравенства, теорема о двух милиционерах и кое-что о бесконечных пределах.

В последней части поговорим о том, что бывает, если поделить одну бесконечность на другую, или единицу на бесконечность, или даже единицу на ноль. (Впервые со школы нам разрешили делить на ноль! Ради этого стоило выучить определение предела, правда?)

Конспект: Пределы и неравенства, теорема о двух милиционерах, вокруг бесконечных пределов.

Видео: https://youtu.be/ExKXEo964O4

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar07.pdf

Так, я слегка пропал; возвращаюсь 🙂

Лекция 8. Теорема Вейерштрасса, немного комбинаторики и число e.

Научимся доказывать, что предел существует, даже когда его нельзя найти явно — с помощью теоремы Вейерштрасса. Она основана на фундаментальном факте о числовой прямой: среди вещественных чисел нет «дырок» (в отличие, например, от рациональных — несмотря на то, что они всюду плотны, и между двумя рациональными числами есть бесконечно много других рациональных чисел, «дырки» между ними тоже есть — при построении вещественных чисел они заполняются как раз иррациональными числами.)

Эта теорема нам понадобится, в частности, чтобы построить число e. А ещё понадобится бином Ньютона и немного комбинаторики.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:08:weierstrass/

Видео: https://youtu.be/0r39FEXoG5M

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar08.pdf

Лекция 9. Подпоследовательности, предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса. Учимся искать пределы даже там, где их нет :) Попутно доказываем важную теорему о вложенных отрезках и применяем простой, но полезный метод деления отрезка пополам (он нам ещё пригодится).

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:09:limitpoints/

Видео: не записалось, может быть, позже сделаю.

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar09.pdf

Лекция 10. Предел функции.

Мы покидаем уже ставший знакомым мир последовательностей и переходим к новому объекту — функциям; вернее, числовым функциям одного аргумента. Это основной объект изучения нашей части матанализа.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:10:limfunc/

Видео: https://youtu.be/SIwqtr6oUz8

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar10.pdf

Лекция 11. Предел функции по Коши и по Гейне.

Тут понятия предела последовательности и предела функции сходятся вместе, и получается предел по Гейне. Оказывается (это основная часть этой лекции), что предел по Гейне эквивалентен пределу по Коши (это то понятие предела, которое изучалось на прошлой лекции).

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:11:heine/

Видео: https://youtu.be/dQpGzGV8rWo

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar11.pdf

Уфф, всё на сегодня. Но завтра будет новая лекция!

Субботний матан:

Лекция 12: Бесконечные пределы и асимптоты.

Мы обсуждали, что последовательности могут не только иметь какой-то конечный предел, но и стремиться к бесконечности. Функции тоже. Более того, в случае функций, x тоже может стремиться к конечному числу (как было раньше) или к бесконечности. Возникает куча разных случаев. Обсудим, как они устроены, и что бесконечные пределы говорят про графики функций.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:12:asymptote/

Видео: https://youtu.be/xkEI5yDchBI

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar12.pdf

Лекция 13. Непрерывность.

Понятие непрерывной зависимости — очень естественное и жизненное. Если вы немножко пошевелите значение одного параметра системы, как правило, можно ожидать, что другие, зависимые от него параметры системы также изменятся не слишком сильно. На этом основана, например, работа любых численных методов — компьютеры не умеют работать с настоящими вещественными числами (в вещественном числе бесконечно много цифр и они не поместятся в память), а работают с приближениями. Тот факт, что результаты таких приближенных вычислений всё равно оказываются полезны — следствие непрерывности.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:13:continuity/

Видео: https://youtu.be/dQHE17MUtfE

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar13.pdf

Суровый матан-мем от @mariaservetnik

Что почитать на «нерабочей неделе»? Лекции по матану!

Лекция 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Понятие непрерывности функции в точке опирается на понятие предела и является, как говорят, локальным — оно зависит только от того, как функция ведёт себя в произвольно малой окрестности точки. Нас же зачастую интересуют глобальные свойства функций — например, является ли функция ограниченной, достигает ли своего максимума и минимума, имеет ли корни? Оказывается, в некоторых случаях можно перейти от локальных свойств к глобальным. Этот переход кажется простым, но часто эта простота обманчива. Например, мы знаем, что если функция непрерывна в какой-то точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (т.к. имеет предел). Пусть теперь функция непрерывна во всех точках некоторого множества. Значит ли это, что она будет ограничена на этом множестве? Оказывается, нет: например, функция f(x)=1/x является непрерывной в любой точке интервала (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.

В этой лекции мы обсудим несколько глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Они нам понадобятся в дальнейшем.

Лекция: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:14:cont-segment/ (и небольшой кусочек отсюда: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/#label_subsection_number_17_2_1 )

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar14.pdf

Видео: https://youtu.be/75uxoVZbktk

Лекция 15. Производная функции

С понятия производной, собственно, начался анализ — сначала возникла необходимость описать понятие «мгновенной скорости», а потом под это был разработан аппарат пределов (пригодившийся, впрочем, и в других ситуациях). Производную проходят в школе, поэтому чаще всего выпускники школ знают, как её находить — но зачастую плохо понимают, что это такое. Поэтому мы подробно поговорим о том, что такое производная, какими бывают дифференцируемые и недифференцируемые функции и что именно дифференцируемость говорит о функции.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:15:derivative/#label_chap_15_derivative

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar15.pdf

Видео: https://youtu.be/nFGNjX5ODec

А вот новая порция лекций.

Лекция 16. Нахождение производных

Считать производные по определению — занятие весёлое (я был в большом восторге, когда в детстве про это узнал, и увидел, что оно действительно работает), но муторное. Поэтому нам пригодятся правила вычисления производных. Они в какой-то мере повторяют правила вычисления пределов — есть теоремы о пределе суммы (простая), произведения (в отличие от предела, производная произведения не равна произведению производных!) и сложной функции. О них-то мы и поговорим.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:16:finding-deriv

Видео: https://youtu.be/1Jc-O4E3V3c

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar16.pdf

Лекция 17. Применение производных

Ну хорошо, мы научились находить производные. Но зачем они нужны? Какие точно факты про функцию мы можем узнать, если знаем её производную? Из определения понятно, что производная должна быть связана с возростанием и убыванием, но как точно?

Оказывается, тут не всё так просто. Например, утверждение «если производная в точке положительна, то функция возрастает в некоторой окрестности этой точки», неверна — контрпример является, например, функция на картинке. А как правильно?

Помимо ответа на этот вопрос, мы обсудим теоремы Ролля и Лагранжа — ключевые утверждения, позволяющие переходить от локальных свойств функций, связанных с производными, к глобальным.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/

Видео: https://youtu.be/IPu5ymeJbHQ и начало https://youtu.be/rCM_omW0rBA

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar17.pdf

Лекция 18. Обратные функции и их производные

Бывают обратимые функции — это те, которые не переводят две разные точки в одну и ту же. Например, функция x^3 обратима, и у неё есть обратная — это кубической корень. Часто интересующие нас функции не являются обратимыми на всей области определения, но становятся обратимыми, если их ограничить на какое-то меньшее подмножество.

Проблема в том, что не для всякой функции, заданной формулой, можно записать обратную функцию в виде формулы. Однако, одно из достижений анализа состоит в том, что далеко не всегда нужно знать формулу, задающую функцию, чтобы узнать всё необходимое о поведении этой функции.

Например, если вы знаете, что функция дифференцируема, непрерывна и обратима, то вы можете найти производную её обратной, даже не имея явной формулы для этой обратной.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:18:inv-fun-deriv/

Видео: https://youtu.be/rCM_omW0rBA?t=2780

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar18.pdf

Я знаю, вы подписались на этот канал ради лекций по матанализу, но сейчас я вынужден написать на совсем другую тему. Реальность, в которой я писал этот учебник, уничтожена. Россия напала на Украину и ведёт войну, каждый день гибнут люди, и наша страна закономерно превращается в страну-изгоя, изолированную от всего окружающего мира. Вероятнее всего, вы учили матан, чтобы найти хорошую работу в какой-то высокотехнологичной отрасли или заниматься наукой. Но на ближайшие десятилетия в России не будет высоких технологий и науки — потому что они основаны на международном сотрудничестве.

И самое страшное — всё, что происходит сейчас, делается от имени нас с вами — народа России. Это клеймно останется с нами навсегда. Через десятки лет в разных концах мира к нам будут относиться как к гражданам страны-агрессора, ответственной за развязывание страшной войны.

У нас нет простого способа остановить войну, но мы обязаны попытаться это сделать. Сегодня, с 14:00 по всей стране пройдут (и уже идут) митинги протеста против войны. Выйти на них страшно — они не согласованные, и там могут задержать. Но судьба нашей страны сейчас гораздо страшнее.

К сожалению, я не смогу принять участие в митингах сам, т.к. был вынужден уехать из России — меня пытались арестовать как раз за распространение информации о митингах. Однако, я выходил на несогласованные протестные акции много раз, по разным поводам, и в частности был на антивоенной акции неделю назад. Она была малочисленной, и поэтому более опасной — чем меньше людей, тем проще попасть под задержание. Нынешняя акция будет большой, и значит более безопасной. Если вы хотите выйти, надо выходить сегодня.

Подробнее можно узнать в канале движения «Весна» (https://yangx.top/vesna_democrat) и других источниках.

Будьте осторожны, берегите себя, и если у вас будут какие-то вопросы — пишите.

Кстати, я поздновато написал это сообщение, но если вы думаете, что выходить уже поздно — то нет, в самый раз. Мы обычно опаздывали на митинги на час, и в это время как правило всё только начиналось — по крайней мере, в Москве. Самый опасный момент — когда людей мало, например, они уже расходятся — тогда риски задержания максимальны. Старайтесь держаться ближе к другим протестующим.

Часть протестующих начала шествие от Охотного ряда до Манежа