Парадокс Джекпота или почему нам НУЖНО играть в монетку

Пару недель назад в криптовалютном-твиттере гремела статья, связанная с проблемой эргодичности. К слову, у этого автора есть и другие статьи, которые обязательны к прочтению - thiccy (но перевод от deepl - толстушка - мне нравится больше, поэтому дальше будет толстушкой).

Так вот, после прочтения статьи у меня остались немного смешанные чувства. Во-первых, автор бывший покерист, а значит я сразу положительно предвзят в будущих суждениях. Во-вторых, с моей точки зрения, статья овердраматризирует проблему эргодичности капитала, и бывшему покеристу это прекрасно известно. Болезненное слово ”дисперсия” сразу тригерит ударить собеседника стулом по горбу. У игроков в Spin'n'Go даже программа есть для расчёта банкролла при игре на различных лимитах, чтобы преодолевать парадокс джекпота и не закататься, называется SwongSim.

Рекомендую сначала прочитать саму статью, а потом возвращаться сюда. Если вкратце описать суть статьи:

При броске монеты на весь капитал с положительным матожиданием среднее арифметическое и среднее геометрическое будет отличаться на дистанции, что создаёт парадокс джекпота, мол, играя в игру с положительным матожиданием у нас складывается ощущение, что игра неизбежно прибыльная и в неё стоит играть.

Математика говорит нам, что играя в эту игру мы на дистанции неизбежно останемся с нулём на кармане (по множественным тестам там около 70-90 броска мы уже обнулимся, не дойдя до тысячи), но с нюансом. И тут возникает вопрос: ведь игра всё также осталась плюсовой, наверное надо что-то изменить? Так вот, нюанс заключается не в самой игре, а в риск-менеджменте, а именно - в размере ставки.

Именно для таких задач и был придуман критерий Келли, который позволяет вещественно оценить величину риска остаться без штанов.

Формула Келли - формула, которая показывает оптимальную долю капитала, которой можно рискнуть в одной сделке. Применяется в управлении капиталом при игре на финансовых рынках, в азартных играх, а также можно использовать в жизни для определения места работы (есть финансовая подушка - дольше ищи работу с высокой ЗП, нет денег - ищи любую ближайшую).

Келли-фракция (оптимальная доля ставки):

f = (p × b – q) / b

где:
p — вероятность выигрыша
q — вероятность проигрыша (1 – p)
b — коэффициент выигрыша на 1 поставленную единицу (например, если ставка ×1.2 при выигрыше, то b = 0.2)

Вооружившись знанием о Келли, теперь приступим к расчётам. Я написал скриптик, который позволит вам самим повторить мои эксперименты (прошу в комменты, если найдёте косяки в расчётах, поправим). Первая картинка - это повторение расчётов толстушки, чтобы вы убедились, что скрипт работает так, как нужно.

Самое интересное начинается, если мы включаем критерий Келли и перестаём ставить весь банкролл в одну игру. По условиям задачи, которую предложил толстушка, Келли будет равен 1/3, что моментально приводит к СУПЕРПРИБЫЛЬНОЙ игре на дистанции по геометрической средней. (Демонстрация на картинке 2)

Есть ещё одни интересный момент. В скрипте есть переменная, который позволяет включить комиссию за броски, чтобы приблизить расчёты к трейдингу. По дефолту стоит 0.002, что равняется 0.2% комиссий (открытие и закрытие позиции). В таком случае на дистанции вы недополучите ПОЛОВИНУ всего профита, хотя размер комиссии кажется копеечным. Представьте, что с вашим депозитом сделает комиссия, если в реальности трейдеры дерутся за доли процентов матожидания над соперниками. (Демонстрация на картинке 3)

Одна из мотиваций заниматься вот этим всем была в том, что многие инфлы вокруг начали повально сравнивать эту игру с криптовалютным рынком, мол, тут никто не заработает и не стоит заниматься этим (причём разные инфлы про разные сферы). Я же хотел дополнить статью толстушки, что логарифмическое богатство капитала как раз и работает по критерию Келли. Всё звисит от вашего подхода и стратегии на этом рынке.

Не ставь весь банкролл на одного коня и не теряйся, тюленьчик 😊
Крипто-Шелки, Tawer's мюсли