mccme.ru/dubna/2025/

совсем скоро начинается XXIV Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда

по ссылке есть расписание, анонсы курсов

видеозаписи большинства занятий появятся осенью, но большинство пленарных лекций планируется транслировать в вк-видео

откроется школа лекцией Александра Петровича Веселова про q-числа и их связь с узлами и косами (вск 20.07, 09:30)

Я воспользуюсь случаем и порекламирую две другие (классные!) лекции Александра Петровича, «Магия марковских троек» (https://www.mathnet.ru/rus/present17717 ) и «Река Конвея и парус Арнольда» (https://www.mathnet.ru/rus/present21266 ) — и их с В.М. Бухштабером статью «Топограф Конвея, PGL_2(Z)-динамика и двузначные группы», https://www.mathnet.ru/rus/rm9886 .

Пусть есть квадратичная форма Q(x,y) с целыми коэффициентами — и пусть она не-знакоопределённая. Давайте рассматривать её на решётке Z^2 — сначала со стандартным базисом, а потом будем от базиса (e_1,e_2) переходить к « соседнему », заменяя один из векторов либо на их сумму, либо на их разность. И будем рисовать соответствующую картину на плоскости — области соответствуют (примитивным) векторам решётки, рассматриваемым с точностью до смены знака; отметки в них — значению Q на соответствующих векторах (Q(v)=Q(-v), так что выбор знака вектора неважен), рёбра — разделяют области, пары векторов из которых образуют базис, и ребро, разделяющее области для e_1 и e_2, упирается в области для e_1+e_2 и для e_1-e_2.

Скриншот из статьи Веселова и Бухштабера.

И ещё из ссылок: «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях» Конвея — классные!

Ещё немного к завтрашней лекции А. П. Веселова — соседняя история про q-деформацию. Возьмём поле F_q из q элементов. И спросим: сколько k-мерных подпространств есть в F_q^{n}?
(Если формулировать другими словами — сколько точек в грассманиане Gr(k,n) над F_q?)

Оказывается, что получается многочлен от q. Но в него можно подставлять не только те значения q, для которых есть соответствующие поля (т.е. степени простых), но и вообще что угодно. Например, q=1. А что мы будем получать?

Например, сколько точек в проективном пространстве P^{n}(F_q) — или, что то же самое, сколько в F_q^{n+1} прямых через 0? Проективное пространство делится на аффинную карту F_q^n, в которой q^n точек, и проективное пространство «точек на бесконечности» на единицу меньшей размерности; по индукции получаем
q^n+q^{n-1}+…+q+1.
В частности, при q=1 этот многочлен равен n+1.

Определение. q-аналогом числа n называется число точек n-1-мерной проективной плоскости P(F_q^n)
[n]_q := q^{n-1}+…+q+1.

Несложно видеть, что k- и n-k-мерных подпространств в F_q^n одинаковое количество (в качестве вещественной ассоциации — можно брать взятие ортогонального дополнения в качестве биекции), поэтому этот же ответ справедлив и для количества (n-1)-мерных подпространств.

Если определить q-факториал по индукции
[0]!=1, [n]!=[n-1]! * [n],
то он соответствует количеству полных флагов : цепочек подпространств
0=V_0 \subset V_1 \subset … \subset V_{n-1} \subset V_{n} = F_q^n,
где V_i — i-мерное.

Наконец, каждое k-мерное подпространство V_k участвует в
[k]! * [n-k]!
полных флагах (потому что нужно продолжить цепочку вниз — это [k]! вариантов — и вверх, их [n-k]!).
Так что точек в грассманиание Gr(k,n) —
[n]! / ([k]! [n-k]!).

При подстановке q=1 получается как раз биномиальный коэффициент!

В оооочень больших кавычках можно говорить, что выбор подпространств и действия на них линейными преобразованиями над «полем из одного элемента» (которого не существует) превращаются в комбинаторику (выбор k элементов из n) и действие групп перестановок. Но поскольку мне тут для аккуратного рассказа знаний не хватает — чтобы не соврать, я так говорить не буду. 🙂

P.S. Курс Г. Б. Шабата в 2009 году, «Когда 1 = 0…»:
анонс https://old.mccme.ru/dubna/2009/courses/shabat.htm + видеозаписи: https://www.mathnet.ru/present9121

сегодня на ЛШСМ

в 11:15 — В.И.Богачев «Старые задачи иногда решаются (корреляционное неравенство и гипотеза Кантелли)», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239369

в 15:30 — С.К.Смирнов «Мозаики, замощения, порядок и хаос», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239370

напомним также про книгу «Математический Петербург» (редактор-составитель Г.И.Синкевич, научный редактор А.И.Назаров)

электронная версия: https://www.mathsoc.spb.ru/history/MathSPb2ed.pdf / https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_peterburg_2018/

бумажная книга: https://biblio.mccme.ru/node/130275

🎬 Новое видео о математических бильярдах уже на канале. По мотивам лекции Сергея Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии». Рекомендую смотреть на крупном экране и с хорошим звуком

#wildmathing #video

https://www.mathnet.ru/present50

напомним тж. лекцию С.Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии» на ЛШСМ-2003 (конечно качество картинки и звука там совсем из других времен…)

возьмем какой-нибудь многочлен (от одной переменной) и возведем в большую степень

ну будет непонятное море мономов с большими коэффициентами… но тут уже обсужалось, что полезно сделать в таком случае: построить график

что мы увидим? почему?

под спойлером скрыт пример картинки (конкретно — `list_plot(((2+7*x+x^4+5*x^5)^57).coefficients(),plotjoined=True)`)

(такой иллюстрацией ЦПТ поделился Александр Ч. в комментариях у «Кроссворда Тьюринга»)

https://www.mpim-bonn.mpg.de/maninmemorial

конференция памяти Ю.И.Манина (11-15 августа; большинство докладов планируют транслировать)

К этому: давным-давно хочу написать про лекцию Дональда Кнута ко дню Пи — про неё несколько лет назад писали коллеги.

И начать хочу с той же задачи, с которой начинает Кнут. Бросим две обычные (честные!) игральные кости. Результат может быть от 2 до 12 очков — но (как известно любому игроку в настольные игры!) шанс выкинуть 7 очков (1/6) гораздо больше, чем выкинуть 2 или 12 очков (1/36). Так вот, вопрос:

А нельзя ли сделать такие две кости, чтобы суммарное число очков принимало все значения от 2 до 12 равновероятно?

Вопрос не такой очевидный — ведь если кинуть монетку, равновероятно падающую сторонами «0» и «1», и независимо от неё «трёхгранную» кость, равновероятно дающую «1», «3», и «5» — то суммарный результат будет равновероятно принимать все значения от 1 до 6 — то есть как раз быть обычной игральной костью.


И это тот сюжет, когда можно достаточно естественно если не придумать, то рассказать характеристические функции для случайных величин.
Пусть у нас есть случайная величина — результат бросания кости — которая принимает неотрицательные целые значения. Её распределение — это то, с какой вероятностью p_n принимается какое значение n. То есть последовательность чисел. А в стандартный — и очень мощный — приём в комбинаторике это превратить последовательность чисел p_n в производящую функцию
F(x) = \sum_n p_n x^n.

В скобках — в этом канале производящие функции уже несколько раз появлялись: вот тут в связи с числами Каталана, вот тут в связи с решёткой Е_8, вот тут в связи с разбиением числа в сумму слагаемых и пентагональной теоремой Эйлера и (чуть ниже) тройным произведением Якоби / предсказанием позитрона Дираком. Первая ссылка, которая мне тут приходит в голову — это отличные «Лекции о производящих функциях» Сергея Константиновича Ландо, насколько я понимаю, потом легшие в основу первой части его же книги «Введение в дискретную математику» (электронная версия / МЦНМО). Но я дальше буду писать так, как будто о производящих функциях мы ничего не знаем.

Так вот — пусть у нас есть две случайные величины: первая принимает значение n с вероятностью p_n, вторая — с вероятностью q_n. Соберём из этих последовательностей производящие функции:
F(x) = \sum_n p_n x^n.
G(x) = \sum_m q_m x^m.

Тогда, если эти случайные величины независимы, вероятность того, что первая приняла значение n, а вторая m, равно p_n q_m; в этом случае сумма принимает значение m+n, и соответствующий вклад в производящую функцию, которую мы сопоставим сумме величин, равен
p_n q_m x^{n+m} = (p_n x^n)* (q_m x^m).
То есть это произведение соответствующих мономов. Значит, производящая функция для распределения суммы независимых случайных величин — это просто произведение производящих функция для распределений слагаемых, F(x)*G(x) !

Давайте теперь применим это к исходной задаче. Только для простоты уменьшим число очков на каждой из костей на 1: тогда на каждой из них выпадает от 0 до 5 очков, а сумма при независимом подбрасывании должна быть равномерно распределённой от 0 до 10.
Производящая функция для суммы —
(1/11) * (x^10 + … + x + 1),
и с точностью до множителя-константы (1/11) это сумма (конечной) геометрической прогрессии:
(x^11 -1) / (x-1).
В частности, (комплексные) корни этого многочлена мгновенно находятся: это корни 11-й степени из единицы, кроме собственно x=1.

Теперь — сразу видно, что исходные кости не могут быть одинаковыми: иначе производящая функция распределения суммы очков была бы квадратом многочлена, а у нас все корни простые (а должны были бы все быть чётной кратности).

Но и вообще в произведение двух многочленов пятой степени с вещественными коэффициентами нужная производящая функция не раскладывается. Потому что у этих многочленов были бы вещественные корни (они же нечётной степени!), а у нашего произведения все 10 корней — в комплексной области. Всё!

Правда, случай, если кости пяти- или семигранные и могут быть разными, так сделать уже не получится: многочлены, отвечающие костям, уже чётной степени, и в принципе могло бы быть так, что при каком-то разбиении (пар сопряжённых комплексных) корней на две группы многочлен (x^{2N+1}-1)/(x-1) раскладывался бы в произведение двух сомножителей N-й степени с вещественными положительными коэффициентами. Интересно было бы пройти этот путь до конца (скорее всего, аккуратно доказать невозможность — а если это вдруг возможно, то это очень неожиданно), но, каюсь, над этим я почти не думал.

Я обещал естественным образом дойти до характеристических функций. Собственно, осталось совсем чуть-чуть: пока что, если у нас случайная величина ξ могла принимать конечное число неотрицательных целых значений — 0,1,2,… с вероятностями p_0, p_1, p_2,… — мы ей сопоставили многочлен-производящую функцию этих вероятностей,
F_ξ(x) = \sum_n p_n x^n.
И оказалось, что если случайные величины ξ и η независимы, то соответствующие функции перемножаются:
F_{ξ+η}(x) = F_ξ(x) F_η(x).
А что, если у нас случайная величина принимает уже все возможные неотрицательные целые значения? Ничего страшного, теперь F_ξ (x) это уже не многочлен, но всё ещё замечательно определённая при |x|<=1 функция, заданная, как сумма ряда (как раз ряд мажорируется просто суммой вероятностей p_n, равных 1).

А если разрешить все целые значения, включая отрицательные? Берём всё то же самое определение (кстати, давайте его ещё в виде математического ожидания запишем):
F_ξ(z) = \sum_n P(ξ=n) z^n = E z^ξ.

Теперь при |z|<1 из-за отрицательных степеней ряд может и разойтись — но при |z|=1 он опять сходится, а это целая единичная окружность на комплексной плоскости! Ну и все те же самые свойства остаются.

Наконец, остаётся последний шаг. А что, если случайная величина принимает уже любые вещественные значения, не обязательно целые? Даже если бы были рациональные — даже z^{1/2}=\sqrt{z} не будет однозначно определён на комплексной плоскости. Но вот если выбрать логарифм, то будет! А логарифм будет чисто мнимым, потому что |z|=1.

Запишем z=e^{it}, и заменим z^ξ на e^{itξ}. Вот мы и получаем классическое определение характеристической функции,
f_ξ(t):= E e^{itξ},
для которого выполняется всё то же самое замечательное тождество: при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются.

https://kvant.mccme.ru/

архив номеров журнала «Квант» снова работает в штатном режиме