Forwarded from Математика + анимации
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
🔥8❤5👍1
(Настенная роспись в храме Преображения, г. Требине, Босния и Герцеговина)
Никола Тесла: сначала интуиция, потом формулы
«Современные учёные заменили эксперименты математикой и блуждают, разбирая уравнение за уравнением, и в конечном итоге создают структуру, не имеющую никакого отношения к реальности»
— эта фраза, широко приписываемая Николе Тесле, действительно отражает его общую философию, но, скорее всего, она была упрощена или интерпретирована позднее.
Тесла критиковал подход, при котором математические модели теряют связь с физической реальностью, но это не значит, что он отвергал математику как инструмент. На самом деле, его гений заключался именно в нахождении баланса между теорией и практикой.
Тесла был убеждён, что в первую очередь нужно полагаться на длительные и трудоёмкие эксперименты, и это определяло метод его работы. Однако, его практические достижения невозможно представить без глубокого понимания математических закономерностей. Именно здесь возникает парадокс: критикуя формальную математику без экспериментальной проверки, он сам создавал новые математические подходы через прикладные задачи. Труды Теслы стимулировали развитие многих математических методов.
Яркий пример — открытие вращающегося магнитного поля (1888 г.). Тесла пришёл к нему через физическую интуицию и эксперименты с фазовыми сдвигами. Его интуитивное понимание и практическая реализация многофазных систем (особенно трёхфазной с углом 120°) стали вызовом для математиков. Работы Теслы дали мощнейший импульс развитию векторного анализа и теории поля в электротехнике. Его изобретение послужило толчком для создания строгого формализма — комплексных амплитуд, векторных диаграмм, анализа пространственных гармоник.
Хотя Тесла не публиковал трудов по гармоническому анализу, он интуитивно понимал, что реальные электрические сигналы состоят из кратных гармоник, и умел работать с их интерференцией. Его подход к анализу искажений формы сигнала в электрических системах стал предтечей современного гармонического анализа. Сегодня эти идеи формализуют с помощью рядов Фурье, но именно практические задачи, с которыми столкнулся Тесла, предопределили разработку этого математического аппарата.
Работы Теслы по фазовым сдвигам создали практическую базу, на которой Ч. Штейнмец позже построил формализм комплексных чисел для электротехники. Аналогично, его эксперименты с резонансом (механическим и электрическим), основанные на качественном понимании колебательных процессов, заложили фундамент для последующего развития строгой теории нелинейных колебаний и решения соответствующих дифференциальных уравнений.
Теоретические основы анализа многофазных систем могут быть представлены в рамках геометрической алгебры — подхода, развивающего идеи, заложенные Теслой.
Гений Теслы проявился именно в обнаружении математических закономерностей в физических явлениях. Он брал сложные физические концепции (резонанс, распространение электромагнитных волн, передача энергии) и находил для них эффективные математические модели, напрямую ведущие к работающему устройству.
Суть математической теории действительно состоит в строгих логических выкладках, но процесс её создания начинается не с формулы, а с понимания принципов. Как отметил А. Пуанкаре, «логика доказывает, интуиция изобретает».
Тесла не был математиком в академическом понимании, тем более он не имел никакого отношения к чистой математике. Но его подход к науке идеально иллюстрирует фундаментальный принцип математического открытия: сначала достигается понимание, а затем формализация.
Критика Теслой «блужданий по уравнениям» была направлена не против математики, а против нарушения естественного пути познания — попыток строить абстракции в отрыве от интуиции и реальности. Его истинный вклад в математику — не в приведённых выводах, а в предоставлении интуитивных оснований, на которых были построены эти выводы. А формальные доказательства и строгие выкладки, описывающие его открытия, пришли вслед за ним. Как писал А. Лебег, «мы не изобретаем математику, мы её открываем» — и Тесла был мастером таких открытий.
Никола Тесла: сначала интуиция, потом формулы
«Современные учёные заменили эксперименты математикой и блуждают, разбирая уравнение за уравнением, и в конечном итоге создают структуру, не имеющую никакого отношения к реальности»
— эта фраза, широко приписываемая Николе Тесле, действительно отражает его общую философию, но, скорее всего, она была упрощена или интерпретирована позднее.
Тесла критиковал подход, при котором математические модели теряют связь с физической реальностью, но это не значит, что он отвергал математику как инструмент. На самом деле, его гений заключался именно в нахождении баланса между теорией и практикой.
Тесла был убеждён, что в первую очередь нужно полагаться на длительные и трудоёмкие эксперименты, и это определяло метод его работы. Однако, его практические достижения невозможно представить без глубокого понимания математических закономерностей. Именно здесь возникает парадокс: критикуя формальную математику без экспериментальной проверки, он сам создавал новые математические подходы через прикладные задачи. Труды Теслы стимулировали развитие многих математических методов.
Яркий пример — открытие вращающегося магнитного поля (1888 г.). Тесла пришёл к нему через физическую интуицию и эксперименты с фазовыми сдвигами. Его интуитивное понимание и практическая реализация многофазных систем (особенно трёхфазной с углом 120°) стали вызовом для математиков. Работы Теслы дали мощнейший импульс развитию векторного анализа и теории поля в электротехнике. Его изобретение послужило толчком для создания строгого формализма — комплексных амплитуд, векторных диаграмм, анализа пространственных гармоник.
Хотя Тесла не публиковал трудов по гармоническому анализу, он интуитивно понимал, что реальные электрические сигналы состоят из кратных гармоник, и умел работать с их интерференцией. Его подход к анализу искажений формы сигнала в электрических системах стал предтечей современного гармонического анализа. Сегодня эти идеи формализуют с помощью рядов Фурье, но именно практические задачи, с которыми столкнулся Тесла, предопределили разработку этого математического аппарата.
Работы Теслы по фазовым сдвигам создали практическую базу, на которой Ч. Штейнмец позже построил формализм комплексных чисел для электротехники. Аналогично, его эксперименты с резонансом (механическим и электрическим), основанные на качественном понимании колебательных процессов, заложили фундамент для последующего развития строгой теории нелинейных колебаний и решения соответствующих дифференциальных уравнений.
Теоретические основы анализа многофазных систем могут быть представлены в рамках геометрической алгебры — подхода, развивающего идеи, заложенные Теслой.
Гений Теслы проявился именно в обнаружении математических закономерностей в физических явлениях. Он брал сложные физические концепции (резонанс, распространение электромагнитных волн, передача энергии) и находил для них эффективные математические модели, напрямую ведущие к работающему устройству.
Суть математической теории действительно состоит в строгих логических выкладках, но процесс её создания начинается не с формулы, а с понимания принципов. Как отметил А. Пуанкаре, «логика доказывает, интуиция изобретает».
Тесла не был математиком в академическом понимании, тем более он не имел никакого отношения к чистой математике. Но его подход к науке идеально иллюстрирует фундаментальный принцип математического открытия: сначала достигается понимание, а затем формализация.
Критика Теслой «блужданий по уравнениям» была направлена не против математики, а против нарушения естественного пути познания — попыток строить абстракции в отрыве от интуиции и реальности. Его истинный вклад в математику — не в приведённых выводах, а в предоставлении интуитивных оснований, на которых были построены эти выводы. А формальные доказательства и строгие выкладки, описывающие его открытия, пришли вслед за ним. Как писал А. Лебег, «мы не изобретаем математику, мы её открываем» — и Тесла был мастером таких открытий.
🔥15👍5❤🔥3🤡2🥰1🤔1
Forwarded from Математика не для всех
Сегодня, 25 августа, родился Гельмут Хассе (1898–1979) — один из крупнейших немецких алгебраистов XX века. Он был учеником Курта Генселя, создателя арифметики p-адических чисел, и именно в теории чисел Хассе сделал свои самые значимые открытия.
Одним из них стал так называемый принцип Хассе–Минковского, или локально-глобальный принцип, который позволяет понять свойства квадратичных форм, исследуя их «по частям» — над всеми возможными локальными полями. Он также ввёл инварианты, ставшие ключевым инструментом в изучении алгебр и форм, и вместе с Эмилем Артином разработал конструкцию, получившую название экспоненты Артина–Хассе. Его интересы касались и более глубоких объектов — например, дзета-функций, которые позже легли в основу исследований Хассе–Вейля.
Математики хорошо знают и «диаграмму Хассе» — удобный способ изображать частично упорядоченные множества, который сегодня встречается и в учебниках, и в исследованиях.
С 1929 по 1979 год он был главным редактором одного из старейших и самых авторитетных математических журналов — Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнала Крелля). Через его руки прошли сотни статей, определявших развитие алгебры и теории чисел в XX веке. Среди его учеников были Петер Рокетте, Хайнрих-Вольфганг Леопольдт, Джахит Арф и многие другие, ставшие заметными фигурами в математике.
Но есть и "ложка дегтя". Поддержка Хассе нацистского режима не позволила ему построить академическую карьеру после разгрома фашистской Германии . Тем не менее, как учёный он оказал огромное влияние на современную алгебру, и сегодня его имя продолжает жить в фундаментальных понятиях математики.
Одним из них стал так называемый принцип Хассе–Минковского, или локально-глобальный принцип, который позволяет понять свойства квадратичных форм, исследуя их «по частям» — над всеми возможными локальными полями. Он также ввёл инварианты, ставшие ключевым инструментом в изучении алгебр и форм, и вместе с Эмилем Артином разработал конструкцию, получившую название экспоненты Артина–Хассе. Его интересы касались и более глубоких объектов — например, дзета-функций, которые позже легли в основу исследований Хассе–Вейля.
Математики хорошо знают и «диаграмму Хассе» — удобный способ изображать частично упорядоченные множества, который сегодня встречается и в учебниках, и в исследованиях.
С 1929 по 1979 год он был главным редактором одного из старейших и самых авторитетных математических журналов — Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнала Крелля). Через его руки прошли сотни статей, определявших развитие алгебры и теории чисел в XX веке. Среди его учеников были Петер Рокетте, Хайнрих-Вольфганг Леопольдт, Джахит Арф и многие другие, ставшие заметными фигурами в математике.
Но есть и "ложка дегтя". Поддержка Хассе нацистского режима не позволила ему построить академическую карьеру после разгрома фашистской Германии . Тем не менее, как учёный он оказал огромное влияние на современную алгебру, и сегодня его имя продолжает жить в фундаментальных понятиях математики.
👍7🔥7
p-адические числа
p-адическая арифметика основана на альтернативном способе измерения расстояния между числами. В ней расстояние не связано с положением чисел на привычной числовой прямой, а определяется через призму их арифметических свойств. Всё начинается с простой идеи: число «мало», если оно делится на высокую степень простого числа p.
Формально это описывается с помощью p-адической нормы. Для любого ненулевого рационального числа x его можно единственным образом представить в виде:
x = pⁿ · (a/b), где a и b — целые числа, не делящиеся на p.
Тогда p-адическая норма определяется как |x|ₚ = p⁻ⁿ. Для нуля |0|ₚ = 0.
p-адическое расстояние между двумя числами a и b — это |a – b|ₚ.
Именно так мы и измеряем близость в этом новом мире. Например, возьмём p=2. Число 128 = 2⁷, поэтому |128|₂ = 2⁻⁷ — это очень мало. Число 3 на 2 не делится, поэтому |3|₂ = 2⁰ = 1 — оно значительно «больше». Или другой пример: при p=3 числа 6 и 12 находятся на одинаковом «расстоянии от нуля» (|6|₃ = |12|₃ = 3⁻¹ = ⅓), а число 18 (|18|₃ = 3⁻² = ¹⁄₉) оказывается «меньше» их обоих, ведь оно делится на бóльшую степень тройки.
У этой метрики довольно странные свойства. Например, в p-адическом мире работает более сильное правило, чем классическое неравенство треугольника. Здесь справедливо ультраметрическое неравенство: |a + b|ₚ ≤ max(|a|ₚ, |b|ₚ).
Это приводит к удивительным геометрическим фактам. Например, все треугольники — равнобедренные: если вы возьмёте любые три точки, то как минимум две стороны треугольника будут равны.
Любая точка внутри шара является его центром, и шары не могут пересекаться частично — они либо вложены друг в друга, либо не пересекаются вовсе.
Эта метрика радикально меняет смысл понятия «сходимость». Ряд сходится в ней тогда и только тогда, когда его общий член стремится к нулю. Это делает абсолютно корректной запись числа в виде бесконечной суммы по степеням p: a₀ + a₁p + a₂p² + a₃p³ + ... . Классический пример — представление числа –1 в 7-адической метрике: –1 = 6 + 6·7 + 6·7² + 6·7³ + ... . Со стороны это кажется абсурдом — справа якобы огромное положительное число. Но в 7-адическом мире каждое следующее слагаемое (6·7ⁿ) становится всё меньше и меньше, уточняя значение, и в пределе эта сумма действительно даёт –1.
Где же живут эти удивительные числа? Их главная обитель — теория чисел. Они дают мощнейший инструмент для решения уравнений в целых числах. Например, чтобы выяснить, имеет ли уравнение x² = 2 решение в рациональных числах, можно сначала проверить его разрешимость в p-адических числах для каждого p. Оказывается, что решение существует только для p=2 и для простых p, сравнимых с ±1 по модулю 8 (например, 7). Эта локальная информация является ключом к глобальному ответу.
Они помогают доказывать глубокие результаты, например, трансцендентность чисел вроде π и e, исследовать свойства рекуррентных последовательностей. Они раскрывают скрытые симметрии: рациональные числа в p-адическом представлении обнаруживают повторяющиеся паттерны слева от «десятичной» точки — как будто сама структура чисел хранит секреты делимости.
В современной физике p-адические числа нашли неожиданное применение в теории струн и квантовой гравитации. Существует даже гипотеза, что на ультрамалых расстояниях пространственно-временной континуум может иметь p-адическую структуру, где точки «склеены» иначе, чем в нашем непрерывном мире.
Таким образом, p-адические числа — это не просто математический курьёз. Это альтернативный способ завершить поле рациональных чисел, отличный от классического подхода, ведущего к вещественным числам. Если реальные числа идеально описывают непрерывные процессы и измерения, то p-адические — глубокую дискретную арифметическую структуру нашего мира. Это прекрасный пример того, как абстрактная концепция, рождённая из чистого любопытства, — а что будет, если измерять расстояние между числами не по привычной абсолютной величине, а через делимость на pⁿ? — предлагает альтернативный взгляд на саму природу числа, близости и непрерывности и находит применение для описания фундаментальных свойств Вселенной.
p-адическая арифметика основана на альтернативном способе измерения расстояния между числами. В ней расстояние не связано с положением чисел на привычной числовой прямой, а определяется через призму их арифметических свойств. Всё начинается с простой идеи: число «мало», если оно делится на высокую степень простого числа p.
Формально это описывается с помощью p-адической нормы. Для любого ненулевого рационального числа x его можно единственным образом представить в виде:
x = pⁿ · (a/b), где a и b — целые числа, не делящиеся на p.
Тогда p-адическая норма определяется как |x|ₚ = p⁻ⁿ. Для нуля |0|ₚ = 0.
p-адическое расстояние между двумя числами a и b — это |a – b|ₚ.
Именно так мы и измеряем близость в этом новом мире. Например, возьмём p=2. Число 128 = 2⁷, поэтому |128|₂ = 2⁻⁷ — это очень мало. Число 3 на 2 не делится, поэтому |3|₂ = 2⁰ = 1 — оно значительно «больше». Или другой пример: при p=3 числа 6 и 12 находятся на одинаковом «расстоянии от нуля» (|6|₃ = |12|₃ = 3⁻¹ = ⅓), а число 18 (|18|₃ = 3⁻² = ¹⁄₉) оказывается «меньше» их обоих, ведь оно делится на бóльшую степень тройки.
У этой метрики довольно странные свойства. Например, в p-адическом мире работает более сильное правило, чем классическое неравенство треугольника. Здесь справедливо ультраметрическое неравенство: |a + b|ₚ ≤ max(|a|ₚ, |b|ₚ).
Это приводит к удивительным геометрическим фактам. Например, все треугольники — равнобедренные: если вы возьмёте любые три точки, то как минимум две стороны треугольника будут равны.
Любая точка внутри шара является его центром, и шары не могут пересекаться частично — они либо вложены друг в друга, либо не пересекаются вовсе.
Эта метрика радикально меняет смысл понятия «сходимость». Ряд сходится в ней тогда и только тогда, когда его общий член стремится к нулю. Это делает абсолютно корректной запись числа в виде бесконечной суммы по степеням p: a₀ + a₁p + a₂p² + a₃p³ + ... . Классический пример — представление числа –1 в 7-адической метрике: –1 = 6 + 6·7 + 6·7² + 6·7³ + ... . Со стороны это кажется абсурдом — справа якобы огромное положительное число. Но в 7-адическом мире каждое следующее слагаемое (6·7ⁿ) становится всё меньше и меньше, уточняя значение, и в пределе эта сумма действительно даёт –1.
Где же живут эти удивительные числа? Их главная обитель — теория чисел. Они дают мощнейший инструмент для решения уравнений в целых числах. Например, чтобы выяснить, имеет ли уравнение x² = 2 решение в рациональных числах, можно сначала проверить его разрешимость в p-адических числах для каждого p. Оказывается, что решение существует только для p=2 и для простых p, сравнимых с ±1 по модулю 8 (например, 7). Эта локальная информация является ключом к глобальному ответу.
Они помогают доказывать глубокие результаты, например, трансцендентность чисел вроде π и e, исследовать свойства рекуррентных последовательностей. Они раскрывают скрытые симметрии: рациональные числа в p-адическом представлении обнаруживают повторяющиеся паттерны слева от «десятичной» точки — как будто сама структура чисел хранит секреты делимости.
В современной физике p-адические числа нашли неожиданное применение в теории струн и квантовой гравитации. Существует даже гипотеза, что на ультрамалых расстояниях пространственно-временной континуум может иметь p-адическую структуру, где точки «склеены» иначе, чем в нашем непрерывном мире.
Таким образом, p-адические числа — это не просто математический курьёз. Это альтернативный способ завершить поле рациональных чисел, отличный от классического подхода, ведущего к вещественным числам. Если реальные числа идеально описывают непрерывные процессы и измерения, то p-адические — глубокую дискретную арифметическую структуру нашего мира. Это прекрасный пример того, как абстрактная концепция, рождённая из чистого любопытства, — а что будет, если измерять расстояние между числами не по привычной абсолютной величине, а через делимость на pⁿ? — предлагает альтернативный взгляд на саму природу числа, близости и непрерывности и находит применение для описания фундаментальных свойств Вселенной.
🔥13❤6👍3
Задача 0. Арбуз весит 6 кг и ещё треть арбуза. Сколько весит арбуз?
Anonymous Quiz
12%
Написано же: 6 кг
16%
8 кг
68%
9 кг
2%
10 кг
2%
12 кг
❤3🥰3🔥1
Задача 1. Спелый арбуз на 99% состоит из воды. Масса арбуза 10 кг. Арбуз разрезали, но забыли съесть, и часть воды из него испарилось, так что воды осталось 95%. Сколько теперь весит арбуз?
Anonymous Quiz
4%
10 кг
19%
9,6 кг
9%
9,5 кг
11%
5 кг
49%
2 кг
8%
Я не люблю арбузы
🔥5❤3🥰1🤮1
Задача 2. Математики, находясь на отдыхе, разрезали арбуз на 4 части и съели. Могло ли при этом остаться 5 корок (корки не ломали)?
Решение.Из арбуза можно вырезать кусок в виде столбика, идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединённые арбузной мякотью.
Решение.
🔥4👍3🥰1
Задача 4. Два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей, а арбуз, две дыни и два нектарина — на 50 рублей дешевле. Сколько стоит набор из арбуза, дыни и двух нектаринов?
Решение.Из условия получаем, что арбуз, две дыни и два нектарина стоят 950 рублей. Известно, что два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей. Складывая, получаем, что три арбуза, три дыни и шесть нектаринов стоят 1950 рублей, делим на 3 и выясняем, что арбуз, дыня и два нектарина стоят 650 рублей.
Решение.
👍3🔥2🥰1
Задача 5. Взвесили 4 арбуза. Все арбузы без первого весят 34 кг, все без второго — 28 кг, все без третьего — 38 кг, все без четвёртого — 32 кг. Сколько весит самый лёгкий арбуз?
Ответ:6.
Ответ:
👍4🔥2🥰1
Задача 6. Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)
Решение.Машино высказывание равносильно тому, что шесть арбузов тяжелее девяти дынь. Анино — тому, что шесть арбузов тяжелее восьми дынь. Поэтому если права Маша, то права и Аня. Но обе они правы быть не могут. Значит, Аня права, а Маша ошибается. То есть шесть арбузов тяжелее восьми дынь, но не тяжелее девяти. Следовательно, двенадцать арбузов тяжелее шестнадцати дынь, но не тяжелее восемнадцати.
Решение.
👍4🔥2🥰1
Задача 7. На завтрак группа из 5 слонов и 7 бегемотов съела 11 круглых и 20 кубических арбузов, а группа из 8 слонов и 4 бегемотов — 20 круглых и 8 кубических арбузов. Все слоны съели поровну (одно и то же целое число) арбузов. И все бегемоты съели поровну арбузов. Но один вид животных ест и круглые, и кубические арбузы, а другой вид привередливый и ест арбузы только одной из форм. Определите, какой вид (слоны или бегемоты) привередлив и какие арбузы он предпочитает.
Решение.Выясним сначала, сколько арбузов ест на завтрак каждое из животных. По условию 5 слонов и 7 бегемотов съедают 31 арбуз, а 8 слонов и 4 бегемота — 28 арбузов. Мы видим, что если заменить трёх бегемотов на трёх слонов, то требуется на три арбуза меньше. Значит, 12 слонов съели бы 31 – 7 = 24 арбуза (т.е. каждый по 2), а 12 бегемотов 31 + 5 = 36 арбузов (т.е. каждый по 3).
В первой группе бегемоты съели 7 · 3 = 21 арбуз. Столько арбузов одной формы не было, значит, бегемоты едят арбузы любой формы, а привередливы слоны. Во второй группе слоны съели 8 · 2 = 16 арбузов. Столько кубических арбузов не было, значит, слоны предпочитают именно круглые арбузы.
Решение.
В первой группе бегемоты съели 7 · 3 = 21 арбуз. Столько арбузов одной формы не было, значит, бегемоты едят арбузы любой формы, а привередливы слоны. Во второй группе слоны съели 8 · 2 = 16 арбузов. Столько кубических арбузов не было, значит, слоны предпочитают именно круглые арбузы.
👍2🔥2🥰1
Задача 8. Компания для дня рождения купила в магазине 6 арбузов общей массой 30 кг. Масса каждого арбуза не превышает 10 кг. Какого наименьшего количества пакетов заведомо хватит, чтобы унести все арбузы, если один пакет выдерживает груз массой не более 10 кг (масса арбуза может быть не целым числом).
Решение.Докажем, что 4 пакетов не хватит. Для этого возьмем арбузы массой 6 кг, 6 кг, 6 кг, 6 кг, 5 кг и 1 кг. Нетрудно заметить, что унести в 4 пакетах эти арбузы не удастся (в любой пакет с арбузом в 6 кг нельзя положить 5 кг арбуз, значит, пакетов нужно не менее 5).
Докажем, что 5 пакетов всегда хватит. Упорядочим арбузы по невозрастанию массы: сначала самый тяжелый (если таких несколько, выберем любой из них), потом легче и т.д. Посмотрим на сумму в этом ряду четвертого арбуза и последнего (шестого): если их можно положить в один пакет, то 5 пакетов заведомо хватит, так как осталось 4 арбуза; если их нельзя положить в один пакет, их сумма больше 10 кг, тогда четвертый арбуз весит больше 5 кг, значит, первый, второй и третий также весят больше 5 кг, но тогда суммарный вес пятого и шестого арбуза должны быть меньше 10 кг и их можно поместить в последний пятый пакет (для первых четырех арбузов четырех пакетов хватит).
Ответ:5 пакетов.
Решение.
Докажем, что 5 пакетов всегда хватит. Упорядочим арбузы по невозрастанию массы: сначала самый тяжелый (если таких несколько, выберем любой из них), потом легче и т.д. Посмотрим на сумму в этом ряду четвертого арбуза и последнего (шестого): если их можно положить в один пакет, то 5 пакетов заведомо хватит, так как осталось 4 арбуза; если их нельзя положить в один пакет, их сумма больше 10 кг, тогда четвертый арбуз весит больше 5 кг, значит, первый, второй и третий также весят больше 5 кг, но тогда суммарный вес пятого и шестого арбуза должны быть меньше 10 кг и их можно поместить в последний пятый пакет (для первых четырех арбузов четырех пакетов хватит).
Ответ:
👍3❤1🔥1
Задача 9. В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири — целое число килограммов?
Решение. Одной или двумя гирями массы 1 кг, 3 кг, 5 кг, 7 кг, 9 кг и 10 кг можно взвесить любой из данных арбузов. Действительно,
2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1,
8 = 7 + 1, 11 = 10 + 1, 12 = 9 + 3,
13 = 10 + 3, 14 = 9 + 5, 15 = 10 + 5,
16 = 9 + 7, 17 = 10 + 7, 18 = 9 + 9,
19 = 10 + 9, 20 = 10 + 10.
Таким образом, шесть различных чисел могло быть записано.
Покажем, что пяти типов гирь недостаточно для требуемых взвешиваний. Если гирь пять, то какие-то двадцать арбузов, вообще говоря, взвесить можно. А именно: пять арбузов уравновесить одиночными гирями, пять — двойными и остальные 5·4 : 2 = 10 арбузов — парами различных гирь. Но при этом каждая комбинация гирь должна быть использована ровно один раз.
Заметим, что половина арбузов имеет нечётную массу. Пусть из пяти гирь k имеют нечётную массу, а 5 – k — чётную. Тогда количество способов взвесить арбуз нечётной массы в точности равно k + k(5 – k) = 6k – k². Однако ни при каком k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 это выражение не равно 10 (это можно проверить либо подстановкой, либо решив квадратное уравнение 6k – k² = 10).
Ответ:6 чисел.
Решение.
2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1,
8 = 7 + 1, 11 = 10 + 1, 12 = 9 + 3,
13 = 10 + 3, 14 = 9 + 5, 15 = 10 + 5,
16 = 9 + 7, 17 = 10 + 7, 18 = 9 + 9,
19 = 10 + 9, 20 = 10 + 10.
Таким образом, шесть различных чисел могло быть записано.
Покажем, что пяти типов гирь недостаточно для требуемых взвешиваний. Если гирь пять, то какие-то двадцать арбузов, вообще говоря, взвесить можно. А именно: пять арбузов уравновесить одиночными гирями, пять — двойными и остальные 5·4 : 2 = 10 арбузов — парами различных гирь. Но при этом каждая комбинация гирь должна быть использована ровно один раз.
Заметим, что половина арбузов имеет нечётную массу. Пусть из пяти гирь k имеют нечётную массу, а 5 – k — чётную. Тогда количество способов взвесить арбуз нечётной массы в точности равно k + k(5 – k) = 6k – k². Однако ни при каком k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 это выражение не равно 10 (это можно проверить либо подстановкой, либо решив квадратное уравнение 6k – k² = 10).
Ответ:
🔥4👍2🥰1