Вычисление суммы обратных квадратов (14 способов!). Там есть очень красивый 14-ый способ через подсчёт точек из решетки Z^4 внутри четырёхмерного шара.
А ещё многие обобщаются для вычисления \zeta(2n).
Аккуратно оно на английском)

Вот про то же на русском, там есть другие доказательства, но встречаются опечатки.

интеграл от 0 до бесконечности sin(x)/x равен pi/2).
Пререквизиты: теорема о вычетах из комплана.
#mine

Есть очень интересная задача: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Angel_problem
Ангел и дьявол играют в следующую игру. Ангел стоит на клетчатой бесконечной доске и за ход может сделать p ходов королём. Дьявол же в свой ход съедает одну клетку. Ангел выигрывает, если игра длится бесконечно долго; проигрывает, если не может сделать ход.
При каком наименьшем p ангел выигрывает? (решение в приложенном файле)
Пререквизиты: знать вообще ничего не надо.
А ещё там осталось немало открытых вопросов -- вдруг кто-то решит подумать.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах -- доказательство через кватернионы: любое натуральное число представимо в виде суммы квадратов четырёх целых чисел.
Если вы знаете доказательство Рождественской теоремы Ферма через комплексные (целые Гауссовы), то это легко поймёте.
Пререквизиты: нужно знать слово кольцо и понимать, как из существования деления с остатком следует основная теорема арифметики (факториальность). Если не слышали слово кватернионы, то оно не очень страшное.
#mine

Если кто-то решил что-нибудь почитать и не понял какую-то часть, то можете писать мне @v0r0bi0v. Я постараюсь объяснить :)
И ещё, если кто-то нашёл опечатку, то тоже пишите, пожалуйста.

Трансцендентность е и пи
В файле что-то среднее между несколькими прочитанными мной доказательствами.
Кажется, это самые простые доказательства.
Пререквизиты: надо уметь интегрировать по частям, поверить в один факт из комплана (это для пи, для е, надо только уметь интегрировать) — в то, что интеграл по замкнутому контуру у аналитической функции 0.
#mine

Кстати, к вопросу о трансцендентности констант -- есть курс лекций (4 штуки), прочитанный моим научным руководителем, А. Я. Канель-Беловым, в котором содержится доказательство трансцендентности e^pi, решение седьмой проблемы Гильберта (про alpfa^beta), теорема Линдемана-Вейерштрасса. То есть самые интересные теоремы о трансцендентных числах.
Причём все это элементарно выводится из одного неравенства Гельфонда, которому и посвящён курс.
Пререквизиты: как пишет сам А.Я. в аннотации, нужно только уметь интегрировать по частям.
mccme.ru/dubna/2015/courses/kanel.html

Интересная задача, которую я совсем не знаю как решать (и некоторые умные люди тоже не знают). Будет здорово, если её кто-нибудь решит.

P(x) -- многочлен с целыми коэффициентами. Верно ли что существует такой целый х, что все простые делители P(x) по модулю меньше х?

Наверняка ответ да. Интересно решение для любого частного случая, отличного от того, где Р второй степени и от того, где Р -- двучлен (для этих случаев решение известно).

Может быть какой-то умный человек знает..
Почему в характеристике 0 любой многочлен от элементов матрицы, инвариантный относительно сопряжений, -- многочлен от коэффициентов характеристического многочлена матрицы (или, что тоже самое, от следов ее степеней)?

Все, умный человек уже нашёлся)

Линейная независимость радикалов из натуральных чисел
Это моя курсовая. Там передоказано, что все возможные соотношения между вещественными значениями радикалов из натуральных чисел являются "тривиальными", то есть типа \sqrt(4)=2.
Пререквизиты: теория Галуа, определитель матрицы, многочлены деления круга.

Напишите мне, пожалуйста, если знаете какая универсальная накрывающая у GL(n, R) и GL(n, C).

Напишите мне, пожалуйста, если знаете почему коммутатор в касательной алгебре Ли группы Ли это то же самое, что коммутатор дифференцирований (имеется в виду, если касательный вектор, то есть элемент алгебры Ли, понимать как дифференцирование функций на группе Ли).

сюжет из нового номера журнала Квант — «Линейная независимость радикалов» (А.Канунников, И.Воробьев)

Прикольно:
Возьмём нитку длиной на 1 см больше, чем длина экватора.
Обмотаем ей экватор и оттянем в одном месте.
Тогда в этом месте под ниткой может пройти жираф.

О конечной базируемости множества многочленов над полем характеристики 0 относительно линейных комбинаций и операции подстановки
Это моя курсовая. Небольшой шажок к проблеме Шпехта.
Пререквезиты: теорема Гильберта о базисе

Интересно, что вы думаете о программе Вербицкого: http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html
Пока ни одного положительного отзыва не слышал. Но полностью отрицательные были. Да и сам я отношусь не вполне положительно.

Там прикольно в конце:
"Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет. Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества. А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук."

Как решаются очень многие задачи про радикалы над полем характеристики 0? На самом деле есть один достаточно общий и очень изящный метод — применение следа.

Рассмотрим, например, такую очень интуитивную задачу, которую, однако, самому решить очень тяжело. (например, выше есть моя курсовая первого курса про похожую задачу, и там много страниц теории Галуа и всяких нетривиальных, по крайней мере для меня, наблюдений).

Задача:
Пусть x_1,..., x_n корни каких-то степеней из рациональных чисел, причём x_i/x_j иррационально. Тогда они линейно независимы над рациональными числами.

Решение:
Предположим противное.
Тогда c_1x_1+...+c_nx_n=0, причём без ограничения общности с_n ненулевое.
Переносим одно слагаемое в правую часть и делим на него:
c_1/c_n*x_1/x_n+...+c_{n-1}/c_n*x_{n-1}/x_n=1
Причем заметим, что x_i/x_n это все ещё радикал, причём иррациональный.
Остается взять след от обеих частей и вспомнить, что он линейный.
(След элемента := след матрицы линейного оператора из расширения в себя, отвечающего умножению на этот элемент)
Получается
tr(c_1/c_n*x_1/x_n)+...+tr(c_{n-1}/c_n*x_{n-1}/x_n)=tr(1)
След от иррационального радикала 0, ведь он равен сумме сопряженных на целое число (это видно, если в явном виде выписать матрицу умножерия на элемент в стандартном базисе), то есть сумме корней уравнения x^k-m=0.
След от 1 это, конечно, 1.
Итак, мы получили 0=1. Противоречие.

Следствие:
Размерность Q(sqrt[m]{p_1},...,sqrt[m]{p_n}) над Q равна, как и ожидалось, m^n.

Я решил написать этот пост, потому что, на мой взгляд, эту задачу и вообще то, насколько иногда бывает сильна эта идея часто недооценивают в стандартных курсах алгебры. А ещё просто потому, что доказательство на удивление простое и изящное.

Какова вероятность того, что два натуральных числа взаимно просты?

Решение:

Число делится на фиксированное простое p с вероятностью 1/p. Два числа делятся на одно и то же с вероятностью 1/p^2.
Так что получается ответ
product [p простое] (1-1/p^2)
Но я бы не писал это тут, если бы это произведение не сворачивалось :)
Легко проверить, что это обратная величина к
product [p простое] 1/(1-1/p^2)
Как известно 1/(1-x)=1+x+x^2+...
Так что наше выражение переписывается, как
product [p простое] 1+1/p^2+1/p^4+...
А это по основной теореме арифметики тоже, что
sum [n натуральное] 1/n^2
Этот переход -- частный случай тождества Эйлера для дзета-функции (если вдруг не знаете, это совсем элементарная вещь, пугаться нечего).
Ну, а сумма обратных квадратов, как известно равна pi^2/6.
Кстати, выше есть две статьи с 15ю доказательств этого.

Ответ: 6/pi^2