Расслоения со слоем S^1 и дифференциальные формы 4

00:00 Класс Эйлера в терминах связности
05:36 Эрмитова форма на C^2
08:29 Каноническая форма связности в расслоении Хопфа
19:48 Вычисление формы кривизны, её вещественность
24:37 Вычисление класса Эйлера расслоения Хопфа с помощью связности
28:23 Анонс доказательства формулы для класса Эйлера S^1-расслоения над (замкнутой ориентируемой) поверхностью в терминах кривизны
29:07 Разность любых двух связностей является (глобально заданной) 1-формой в базе, т. е. не зависит от выбора тривиализующих окрестностей. Пространство связностей как аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством 1-форм
32:27 Интеграл кривизны не зависит от выбора связности
36:15 Локализация особенностей и построение 1-формы связности вне особенностей
46:21 Доопределение связности в особых точках
53:08 Вычисление кривизны построенной связности
56:45 Введение в алгебраическую топологию
59:07 Гомотопность и гомотопическая эквивалентность, примеры
1:02:48 Как классифицировать S^1-расслоения с данной базой
1:05:04 Классифицирующее S^1-расслоение из S^∞ в CP^∞ и его универсальное свойство
1:09:01 Группы гомологий, когомологий и гомотопические группы
1:11:27 Пространства Эйленберг—Маклейна как классифицирующие пространства для групп когомологий. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный. (источник)

(источник)

Передайте знакомым старшеклассникам и первокурсникам: новый сезон материалов уже здесь!

Гомологическая сфера Пуанкаре

Относится к классу гомологических сфер. Наряду с трёхмерной сферой данное трёхмерное многообразие является ключевым персонажем знаменитой гипотезы Пуанкаре, которая была доказана учёным ПОМИ РАН Григорием Перельманом (вместе с гипотезой Тёрстона о геометризации трехмерных многообразий, дающей классификацию всех компактных 3-многообразий)