Числом оборотов (turning number) регулярной кривой называется суммарное число оборотов касательных векторов при однократном обходе этой кривой

Число оборота сохраняется при регулярной гомотопии

Теорема Уитни—Грауштейна

Любые две регулярные кривые с одинаковым числом оборота связаны регулярной гомотопией.

Это значит, что число оборота является полным инвариантом при регулярной гомотопии. То есть равенство чисел оборота — это критерий регулярной гомотопности. Подробности: ссылка.

Задача о выворачивании поверхности

Необходимо построить такую гомотопию между стандартным отображением из поверхности в R^3 и его композицией с отражением относительно плоскости, чтобы каждое её промежуточное отображение являлось локальным гомеоморфизмом на свой образ ("погружением").

На анимации показаны неудачные попытки для сферы.

Загадка: почему не существует подобной гомотопии сферы, каждое промежуточное сечение которой является аж гомеоморфизмом на свой образ (иными словами, инъективным)?

Выворачивание сферы (1/7): правила игры

Выворачивание сферы (2/7): задача о регулярной гомотопности плоских замкнутых кривых

Выворачивание сферы (3/7): число оборота сохраняется при регулярных гомотопиях

Выворачивание сферы (4/7): формула Эйлера — Пуанкаре — Хопфа

Выворачивание сферы (5/7): теорема Уитни-Грауштейна и создание морщин

Выворачивание сферы (6/7): использование трюка Дирака

Выворачивание сферы (7/7): основной приём

Расслоение Хопфа (1/15). Окружности Вилларсó на торе

Расслоение Хопфа (2/15). Заполнение тора непересекающимися окружностями Вилларсó

Расслоение Хопфа (3/15). Любые две окружности Вилларсó зацеплены как в зацеплении Хопфа

Расслоение Хопфа (4/15). Заполнение полнотория непересекающимися окружностями

Расслоение Хопфа (5/15). Загадка. Как заполнить трёхмерную сферу непересекающимися окружностями так, чтобы любые две из них были зацеплены?

Расслоение Хопфа (6/15). Ответ на загадку

Разобьём полуплоскость на непересекающиеся концентрические окружности, точку и граничную прямую. При вращении этой полуплоскости вокруг её граничной прямой изображённый на ней узор заметает в пространстве R^3 кучу торов.

Искомое разбиение трёхмерной сферы состоит из окружностей Вилларсо этих торов.

Расслоение Хопфа (7/15). Любые две окружности зацеплены