Расслоение Хопфа (8/15). На множестве окружностей, образующих построенное выше разбиение трёхмерной сферы, имеется естественная топология: две окружности близки, если они выглядят близкими.

Загадка. Какова размерность пространства таких окружностей? Какому известному пространству оно гомеоморфно?

Расслоение Хопфа (9/15). Ответ на загадку

Пространство таких окружностей гомеоморфно двумерной сфере

Подсказка: обратитесь к данной конструкции и проанализируйте то, как окружности заполняют красный полноторий.

Подробнее: каждая окружность разбиения пересекает либо меридианальный диск красного полнотория, либо меридиональный диск полнотория, дополняющего красный полноторий до трёхмерной сферы. Данная кодировка — это практически гомеоморфизм между пространством окружностей и набором из двух дисков. Неоднозначность состоит в том, что нужно склеить граничные окружности двух дисков.

Отображение из трёхмерной сферы в двумерную, переводящее каждую точку в содержащую её окружность, называется расслоением Хопфа

Расслоение Хопфа (10/15)

Расслоение Хопфа (11/15). Заметили этот пируэт в видео?

Расслоение Хопфа (12/15). Для домашнего использования

Расслоение Хопфа (13/15)

Расслоение Хопфа (14/15). Аккомпанемент на скрипке: ссылка

Расслоение Хопфа (15/15). Видео и листочек с задачами НМУ, созданные друг для друга

От топологии к математической физике

Канторова пыль: ещё одно пространство, гомеоморфное канторовому множеству

Канторов куб тоже гомеоморфен канторовому множеству

Кривая Гильберта: пример непрерывной сюръекции из окружности в квадрат

Аналогичные сюръекции существуют как на других поверхностях, так и на многообразиях произвольной размерности

Кривая Серпинского тоже заполняет всё пространство

Шарнирный механизм, пространство конфигураций которого гомеоморфно произведению S^1xS^1xS^1xS^1xS^1 пяти окружностей

Механизм, пространство конфигураций которого гомеоморфно произведению S^1xS^1xS^1 трёх окружностей

Чему гомеоморфно пространство конфигураций этого шарнирного механизма? (Вопрос с подвохом)

Какие пространства могут быть реализованы как конфигурационные пространства шарнирных механизмов?

Путь (кривая) в конфигурационном пространстве 6 различных точек на плоскости представляет собой косу из 6 нитей

Любая гифка — это петля в специально подобранном топологическом пространстве