[Гомологии, когомологии и] гармонические цепи

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Симплициальные и клеточные (ко)гомологии в маленьких размерностях. Разнообразные примеры и упражнения.
2. Гармонические цепи, дискретный оператор Лапласа. Основная теорема: в каждом (ко)гомологическом классе есть единственный гармонический представитель.
3. Приложения: прогулки пьяницы, мыльные плёнки, каноническое обращение граничного оператора.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Предполагается, что слушатели умеют работать с векторными пространствами, линейными операторами, матрицами, скалярным произведением. Знание дискретного лапласиана для графов не требуется.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрическая теория групп

Многие впечатляюще красивые математические теории возникают из неожиданных сочетаний известных понятий. К классу таких теорий относится геометрическая теория групп. Находясь на стыке алгебры, геометрии и топологии, она отталкивается от идеи рассмотрения счетной группы как метрического пространства, — пространства с однородной метрикой, что открывает пути из алгебры и комбинаторной теории групп в гиперболическую геометрию, топологию многообразий, теорию графов, теорию динамических систем и т.д. Исследуя геометрию каждой конкретной группы, мы вовлекаем, применяем и тем самым осваиваем «вживую» множество математических дисциплин одновременно, изучая не «слои» математики (алгебру, геометрию, топологию), а — пронизывая эти слои — всю математику одновременно.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 22 часа)
▪️Конспект
▪️Литература

Программа
1. Графы Кэли и карта мира групп
2. Квазиизометрии
3. Гиперболические пространства и группы: примеры и конструкции
4. Лемма Шварца — Милнора
5. Гиперболические границы и пространства концов
6. Орифункции

Пререквизиты
Предполагается владение стандартным курсом высшей алгебры.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

5 способов найти научного руководителя: https://telegra.ph/how-to-find-an-advisor-08-24

Окрошка из кошки

Как приготовить окрошку из кошки? Например, так. Видно, что с каждой итерацией кошка вытягивается в одном направлении и сжимается в другом. В результате получается «окрошка»: со временем доля кошки в любом маленьком квадратике стремится к одному и тому же числу — доле кошки во всём квадрате!

Если склеить противоположные стороны квадрата, получится тор (поверхность бублика). Если рассматривать отображение (x, y) → (2x+y, x+y) не на квадрате, а на торе, получится непрерывное всюду дифференцируемое отображение, которое тем не менее «размазывает» кошку по тору. Это отображение — простейший пример диффеоморфизма Аносова. Общее понятие предложил Д. В. Аносов в середине XX века. Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, который они вызывают.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.5 часа)

Программа
1. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x + y, x + y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. Эта связь позволяет свести доказательство нетривиальных свойств нашего отображения к стандартным фактам университетского курса теории вероятностей (знание этих фактов от слушателей не требуется).
2. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии, чем просто (многомерный) тор.
3. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова и обзору имеющихся результатов.

Пререквизиты
Курс доступен школьникам.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка