Проективные плоскости с разных сторон

Курс будет состоять из четырех сюжетов, объединенных общим объектом исследования, в качестве которого выступят проективные плоскости, но довольно разных по подходам и методам.

Первый сюжет будет касаться абстрактной теории проективных плоскостей. Обычная проективная плоскость, получаемая добавлением бесконечно удаленных точек к привычной нам евклидовой плоскости, обладает следующими двумя свойствами:
(1) любые две различные точки лежат на единственной прямой;
(2) любые две различные прямые пересекаются в единственной точке.
Можно взять эти два свойства в качестве определения и называть проективной плоскостью любое множество (элементы которого называются точками) с набором выделенных подмножеств (называемых прямыми), если выполнены условия (1) и (2). (Обычно еще добавляют условие, что найдутся четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.) Важнейшим классом проективных плоскостей являются проективные плоскости KP^2 над полем или телом K. Мы увидим, что на таких плоскостях всегда имеет место теорема Дезарга, а коммутативность K отвечает выполнению теоремы Паппа. Кроме того, мы обсудим примеры недезарговых конечных проективных плоскостей. Эта тематика тесно связана с теорией конечных полей.

Второй сюжет относится к топологии проективных плоскостей RP^2, CP^2 и HP^2 над полями вещественных R и комплексных C чисел и телом кватернионов H. На этих трех примерах мы обсудим основные понятия теории Морса, а также поговорим об инварианте Хопфа непрерывных отображений сфер S^{4n-1} → S^{2n} и о знаменитой теореме Адамса об отображениях с инвариантом Хопфа, равным одному. Также мы построим замечательные вложения RP^2 → S^4, CP^2 → S^7 и HP^2 → S^13 и обсудим их свойства. (А есть еще вложение OP^2 → S^25, где O — алгебра октав!)

В третьем сюжете мы перейдем от топологии к геометрии: научимся вводить на проективных плоскостях RP^2, CP^2 и HP^2 метрики, называемые метриками Фубини — Штуди, изучим их группы изометрий и докажем, что они имеют положительную секционную кривизну. Неформально говоря, это означает, что выпущенные из одной точки геодезические на них расходятся медленнее, чем на евклидовой плоскости. Свойство положительной секционной кривизны замечательно тем, что оно крайне редкое: примеров многообразий, на которых люди умеют вводить такие метрики, очень мало.
Если хватит времени, я постараюсь рассказать еще о трех примерах таких многообразий — многообразиях Уоллаха W^6, W^12 и W^24, тесно связанных с упоминавшимися выше вложениями проективных плоскостей в сферы.

Наконец, последний сюжет будет посвящен неассоциативной алгебре октав O и конструкции соответствующей проективной плоскости OP^2. Мы увидим, что эта проективная плокость недезаргова, что связывает этот сюжет с первым.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Литература
▪️Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.

Пререквизиты
Я буду рассчитывать на знакомство слушателей с началами линейной алгебры (операторы, матрицы, собственные векторы), комплексными числами и основными свойствами полей. Знакомство с теорией конечных полей, топологией и дифференциальной геометрией предполагаться не будет.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

Одной из ключевых проблем, определивших развитие топологии и геометрии в 20-м веке, стала знаменитая гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно стандартной трехмерной сфере. О трехмерном многообразии можно думать как об объекте, который локально (в окрестности каждой точки) устроен как наше обычное трехмерное пространство. Ключевым в формулировке гипотезы является слово «односвязное», означающее, что в рассматриваемом многообразии всякая замкнутая кривая (петля) может быть непрерывно стянута в точку или, что эквивалентно, заклеена топологическим диском.

Гипотеза Пуанкаре была доказана в серии замечательных работ Г. Я. Перельмана 2002—2003 годов. Однако содержание курса будет связано не с доказательством этой гипотезы, а с ее возникновением. Изначально (в 1900 году) Анри Пуанкаре сформулировал свою гипотезу неправильно. Вместо условия односвязности он потребовал выполнения лишь более слабого условия, а именно, того, что каждая замкнутая кривая в многообразии должна заклеиваться ориентированной двумерной поверхностью (не обязательно диском!). В 1904 году Пуанкаре сам нашел контрпример к изначальной версии своей гипотезы и уточнил ее формулировку. Этот контрпример — трехмерное многообразие, называемое с тех пор гомологической сферой Пуанкаре, — будет главным объектом первой половины курса. Я расскажу о различных конструкциях сферы Пуанкаре, связанных с группой симметрии правильного икосаэдра, кватернионами, перестройками вдоль узлов и зацеплений, диаграммой Дынкина E8.

Вторая половина курса будет посвящена 4- и 5-мерным гомологическим сферам и их связям с теорией групп и теоремами об алгоритмической неразрешимости в топологии. Я расскажу о:
▪️принадлежащей М. Керверу характеризации фундаментальных групп 5-мерных гомологических сфер,
▪️теореме А. А. Маркова (младшего) об алгоритмической неразрешимости проблемы гомеоморфности для четырехмерных многообразий,
▪️теореме С. П. Новикова об алгоритмической нераспознаваемости пятимерной сферы,
а также об их более современных следствиях и открытых проблемах в этой области.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Необходимые сведения: фундаментальная группа и первая группа гомологий, задание групп образующими и соотношениями, вычисления для клеточных пространств
2. Дефект фундаментальных групп замкнутых 3-многообразий неотрицателен, а для гомологических сфер — нулевой
3. Задание группы A_5 вращений додекаэдра образующими и соотношениями
4. Любое центральное расширение совершенной группы нулевого дефекта тривиально
5. Центральное расширение C_2 —> S^3 —> SO(3) как двулистное накрытие, сфера Пуанкаре как фактор трёхмерной сферы по действию бинарной группы икосаэдра, 120-ячеечник
6. Генерация гомологических сфер:
▪️перестройки по узлам (хирургии Дена), сфера Пуанкаре как [-1]-перестройка по трилистнику и как [-2]-перестройка по зацеплению E_8
▪️сферы Брискорна: пересечения единичной 5-мерной сферы с комплексными гиперповерхностями x^p + y^q + z^r = 0 в C^3
7. Группы гомологических кобордизмов, гомологические сферы в старших размерностях
8. Вторая группа гомологий и формула Хопфа, суперсовершенность
9. Алгоритмическая нераспознаваемость n-сфер при n>=5 и связной суммы 16#(S^2xS^2)
10. Реализация конечно-определённых групп фундаментальными группами 4-многообразий

Пререквизиты
Уверенное знакомство с основами теории групп (смежные классы, нормальные подгруппы, теорема о гомоморфизме, классы сопряженности, группы перестановок). Знакомство с теорией гомологий НЕ предполагается. Полезно (но не обязательно) знакомство с понятием фундаментальной группы и (на интуитивном уровне) с понятием многообразия.

Литература
▪️Н. Савельев. Лекции по топологии трехмерных многообразий: введение в инвариант Кассона. Перевод с англ. И. Дынникова. М.: МЦНМО, 2004.
▪️O. Şavk. A survey of the homology cobordism group. Bulletin of the American Mathematical Society. 2023.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка