Поверхность, полученную разрезом ленты Мёбиуса по сердцевине, можно покрасить в два цвета

Сфера с плёнкой и дыркой гомеоморфна ленте Мёбиуса

Сфера с двумя плёнками (связная сумма двух проективных плоскостей) гомеоморфна бутылке Клейна

Как сделать из двух лент Мёбиуса бутылку Клейна: разрезание бутылки Клейна по центральной линии (также см)

Бутылка Клейна с дырой как поперечная ручка (cross-handle)

Тор с дырой как ручка (handle)

При наличии ленты Мёбиуса добавление к поверхности ручки эквивалентно добавлению поперечной ручки

Элементарные преобразования триангуляций поверхности

По части поверхностей общий курс геометрии и топологии МКН 1 года ограничивается единственной главной теоремой — классификацией компактных поверхностей. Данный центральный базовый результат состоит в выписывании конкретного списка поверхностей без повторов:

Теорема. Любая связная компактная поверхность гомеоморфна либо сфере с конечным числом ручек и дырок, либо сфере с конечным числом плёнок и дырок, причем числа ручек, плёнок и дырок определены однозначно.

Первый класс (сферы с ручками и дырками) отличается от второго (сферы с ручками и плёнками) наличием свойства ориентируемости. Количество дырок, будучи числом компонент связности края, является инвариантом (относительно гомеоморфности). Наконец, дырявые сферы с разным числом ручек, а также дырявые сферы с разным числом плёнок, отличаются эйлеровой характеристикой (при условии совпадения количества дырок).

Отметим, что приведённое на лекциях доказательство того, что любая триангулированная поверхность без края гомеоморфна сфере с конечным числом ручек или сфере с конечным числом плёнок, называется доказательством Зейферта-Трельфалля — оно сосредоточено вокруг определённой искусственно созданной кодировки для поверхностей. Данное доказательство максимально конструктивно, поэтому рассказывается в университетских курсах по топологии, но с ним легко потерять суть. Имеются также три альтернативных, более наглядных доказательства, которые разбираются на кружке.

_____________

Компактные поверхности делятся на ориентируемые и неориентируемые, а внутри данных классов они однозначно кодируются парой натуральных чисел.

Откуда происходит данный результат? Дело в том, что каждую поверхность можно разбить некоторым вложенным графом на многоугольные диски (теорема Радо). Конечность набора таких дисков эквивалентна компактности поверхности. Далее, индукцией по числу этих дисков можно показать, что поверхность обязательно гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, плёнок и дырок (аргумент Зимана). Наконец, при наличии хотя бы одной плёнки все ручки можно заменить на плёнки (тождество Дика).

К небольшому сожалению, излагаемое в лекционном курсе доказательство теоремы о классификации компактных поверхностей не является полным. Так, без доказательства остаются:

▪️Теорема об инвариантности края (никакая точка на границе верхней полуплоскости не имеет окрестности, гомеоморфной плоскости).

▪️Теорема Радо (любая поверхность имеет триангуляцию).

▪️Сфера с ручками и дырками негомеоморфна сфере с плёнками и дырками.

Последнее утверждение будет доказано в этом семестре во второй половине курса с помощью свойств фундаментальной группы. Однако, как было анонсировано, существует доказательство, основанное на концепции ориентируемости (хотя полное и аккуратное рассуждение требует доказательства теоремы Жордана: любая простая замкнутая кривая на плоскости делит её на две части).

▪️Сферы с разным числом ручек негомеоморфны сферам с разным числом плёнок.

Данное утверждение также может быть доказано с помощью фундаментальной группы. Однако, как было анонсировано, существует доказательство, основанное на концепции эйлеровой характеристики:

▪️Теорема Эйлера — Пуанкаре (эйлерова характеристика V-E+F не зависит от триангуляции).

Однако полные и аккуратные рассуждения либо отсылают к теории гомологий, либо требуют доказательства следующего результата:

▪️Теорема Александера — Пахнера (любые две триангуляции заданной поверхности связаны конечной последовательностью движений Пахнера).

Наконец, в листочке задач с практических занятий приведены утверждения (в основном, касающиеся кривых на поверхностях), доказать полностью которые возможно лишь с использованием следующего результата.

▪️Теорема Жордана — Шенфлиса (любая простая замкнутая кривая на сфере делит её на две части, причём замыкания обеих частей гомеоморфны замкнутым дискам).

Основные литературные источники, содержащие полные доказательства всех приведённых утверждений, представлены на этой странице.

Данное краткое содержание основано на тексте страницы "С высоты птичьего полёта" в Notion.