Объекту, чтобы заслужить звание фрактала, достаточно иметь сложную структуру, вне зависимости от масштаба рассмотрения – вот самое понятное (но и самое дилетантское) определение данного термина. В реальном мире, мы, разумеется, не можем бесконечно увеличивать масштаб или бесконечно уменьшать единицы измерения, но все-таки испано-португальская граница является достаточно близким аналогом фрактала, к тому же очень наглядным.

Мандельброт, с упоением развивавший неизведанную область математики, называл ее «прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной». Вслед за ним потянулись и другие ученые, открывая все новые и новые виды фракталов, уже чисто математических.

Пример одного такого фрактала наверняка многие знают, он даже появлялся где-то на обложке учебника – это снежинка или кривая Коха (см. картинку). Забавно, что сам Хельге фон Кох описал данную фигуру еще в 1904 году, правда, для него это была всего лишь занимательная математическая гимнастика, не более. Ее легко построить: делим отрезок на три части, на центральной части строим равносторонний треугольник, стираем основание и повторяем действия сначала на всех получившихся новых отрезках.

Если мы возьмем и соединим концы этой кривой, то получим красивую снежинку, которую назвали снежинкой Коха *как неожиданно*. При этом, полученная фигура все еще имеет бесконечную длину! – как ни приближай ее, как ни увеличивай масштаб, вы всегда будете наблюдать сложную изрезанную границу. Совсем как с береговой линией Байкала. Кстати, этот факт является одним из крайне интересных свойств замкнутых фракталов – кривая, образующая их, имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает точно вычисляемую конечную площадь, ведь и снежинку Коха, и озеро Байкал можно полностью уместить в круг.

Так что, если площадь поверхности Байкала можно довольно точно измерить, то длина его берегов в разных источниках будет отличаться. Подумайте над этим, если вы учитель географии, и вам приспичило помучить кого-то из учеников каверзными вопросами.

⏬ На иллюстрации из Вики показано измерение длины побережья Великобритании разными единичными отрезками (Мандельброт в статье 1967 года использовал именно этот пример) и построение кривой Коха. Любите математику.

#Грибоедов
#Архив
#Математика

Весь фокус заключается в том, что компьютер при вычислении промежуточных значений сохраняет в памяти гораздо больше десятичных знаков, чем показывает экран, и, введя эти значения вручную, Лоренц изменил начальные условия. Казалось бы, что решают тысячные доли? Даже с округленными значениями мы совершали одни и те же четко расписанные действия, кривая должна была хотя бы отдаленно напоминать изначальную. Однако в результате получился совершенно новый график. Этот принцип, открытый Лоренцом, называется (как уже многие догадались) «эффектом бабочки», когда даже легкий взмах крыльев бабочки может вызвать ураган.

А ведь все так красиво начиналось… Но в конце концов очень простые и четкие правила внезапно привели к полной непредсказуемости и беспорядку. Возможно, в том, что фракталы и хаос имеют общие корни, есть какая-то философия? Не знаю. Знаю только, что второй заметки мне все равно не хватило, чтобы рассказать подробнее про применение этих принципов в жизни. Так что спасибо всем, кто это дочитал и сохранил ясность мышления. Любите математику :3

⏬ Кроме картинки с изображением фрактала Мандельброта, оставляю в комментах ссылку на сайт (таких, кстати, полно), где можно порефлексировать и рассмотреть все извилины этого удивительного объекта.

P.S. У Рэя Брэдбери есть очень интересный короткий рассказ про эффект бабочки – "И грянул гром".

#Грибоедов
#Математика
#архив

Слыхали выражение: "Ни одно научное открытие не носит имени своего истинного автора"?

Оно справедливо для любой науки, в том числе для такой, казалось бы, строгой и честной математики. И в поисках решения квадратных и кубических уравнений, ученые также успели знатно друг другу насолить.

https://telegra.ph/Skandal-davno-minuvshih-dnej-06-07

#квант
#математика
#лонг

Но крестики-нолики – игра очень примитивная, самая длинная партия в ней равна всего девяти ходам, так что построить и просчитать дерево решений для нее можно даже вручную (развлечение для людей с кучей свободного времени).

Вот, например, с шашками дела обстоят интереснее: кроме большого поля у них и правила на порядок сложнее, так что при подсчетах оказывается, что листьев у дерева решений около 5х10^20. Это пять и рядом двадцать нулей. Думаете, это мало? Оно и понятно, у нас мозг просто не способен представить число такого порядка, но для сравнения: чтобы выстроить цепочку от Земли до Марса из бусинок размером с атом потребуется как раз 5,5х10^20 бусинок. Очевидно, что число это офигеть какое большое, и пятидесяти компьютерам не просто так потребовалось почти 20 лет (двадцать лет, Карл!), чтобы полностью рассчитать все возможные исходы шашек и выстроить их дерево решений.

Сие знаменательное событие произошло в 2007 году благодаря команде канадских исследователей во главе с Джонатаном Шеффером, и с этого момента шашки официально вошли в список полностью решенных игр. Если оба соперника не совершают ошибок, то партия всегда заканчивается ничьей. (Тут нужно учесть, что речь идет об английских шашках – чекерс; в них назад бьет только дамка)

Таким образом, человек даже теоретически больше никогда не обыграет компьютер в шашки, так как с первого его хода известны все выигрышные решения, и каждый шаг лишь приближает компьютер к победе. Ничейная смерть шашек была предсказана еще в 50-е, и спустя полвека прогноз подтвердился. Но не стоит грустить: если крестики-нолики имеют короткую беспроигрышную стратегию, то для шашек она гораздо-гораздо сложнее, так что и воспользоваться ей может только компьютер. По сути, 2007 был значим только для математиков. Как многие заметили, после 2007 года шашки не умерли, и в игре между двумя человеческими существами решающее значение все еще имеет опыт, а не вычислительные мощности мозга.

Сейчас на меня наверняка налетят шахматные снобы, утверждающие, что приличные люди вообще не играют в шашки. К сожалению, для шахмат не осталось места, так что оставим их на потом.

P.S. На картинках показаны одна из реализаций выигрышной стратегии в крестики-нолики; первые ветви дерева решений и новость 2007 года о полном расчёте шашек. Играйте в игры, любите математику :3

#Грибоедов
#математика
#архив

Как мы перевираем цифры

В речи регулярно употребляются выражения типа «в разы больше/меньше», «на порядок больше/меньше», «больше/меньше на столько-то процентов». Задумывались ли вы, как часто неправильное употребление этих фраз приводит к значительному искажению информации?

И если, говоря «в разы больше» или «на порядок больше», мы обычно более или менее осознанно преувеличиваем (ну правда, неужели в этом году трудовик Василий Петрович выпивает «на порядок», то есть в десять раз больший объем ликероводочной продукции в сутки, чем в прошлом?), то с процентами ситуация хуже. С ними большинтсво ошибок непреднамеренные, неосознанные, и от того абсолютно непредсказуемые.

Например, в январе 2022 г свежего мяса уузок стоил 100 руб.
Цена росла на 10 руб ежемесячно в течение года, и к январю 2023 составила 220 рублей. Очевидно, что цена выросла в 2,2 раза, или на 120% за 12 месяцев.

Если мы скажем, что «в течение 2022 года цена килограмма свежего мяса уузок увеличивалась на 10% ежемесячно», мы совершим значительную ошибку.

Почему? Давайте считать:

в январе килограмм уузятины стоил 100 руб,
в феврале 110 руб (100 * 110%),
в марте 121 руб (110 * 110%),
в апреле 133.1 руб (121 *110%),
….. в следующем январе стоимость кг мяса уузки составила 313,84 руб.

Итого, если бы уузятина дорожала ежемесячно на 10%, то за год цена изменилась со 100 руб до 313,84 руб, то есть выросла на 213%.

Второй пример.

Пусть в готовых котлетах содержание мяса уузки составляет 15%, а в кошачьем корме - 50%. Сказать «в корме мяса уузки на 35% больше, чем в котлетах» - это косяк. Если бы это было так, то в корме мяса было бы всего 15*1,35 = 20,25%.

Правильной формулировкой будет «в кошачьем корме мяса уузки в 3,33 раза (или на 233%) больше, чем в котлетах». Ну или как вариант - «в котлетах мяса в 3,33 раза ( или на 70%) меньше, чем в корме».

Также можно воспользоваться еще одним очень удобным показателем - процентными пунктами (пп) – единицей измерения разности между двумя показателями, выраженными в процентах. И вот тогда кошачий корм содержит на 35 процентных пунктов (пп) больше мяса уузок, чем готовые котлеты.

И на самом деле, мы очень часто используем слово «проценты» там, где нужно использовать «процентные пункты».

Среди котят 20% рыжих и 40% серых. Неужели серых на 20% больше, чем рыжих? Конечно нет! Серых на 20 пп, или на 100%, или в два раза больше, чем рыжих.

За позапрошлый месяц котята набрали в среднем по 5% веса, а за прошлый – по 7%. Значит ли это, что скорость набора веса котят выросла на 2%? Ни в коем случае! Либо на 2 процентных пункта, либо на 40%, либо в 1,4 раза.

Чувствуете разницу? Вот-вот.

Так что, котаны, ешьте качественный корм, считайте правильно, говорите грамотно и не вводите окружающих в заблуждение!

#математика
#Соловьева

Когда мы назначаем всем ребрам и вершинам графа веса, наш граф получает название «взвешенный». Если бы все станции были связаны между собой прямыми перегонами без промежуточных станций и пересадок, метро представляло бы собой полный граф (надеюсь, до этого амбициозные планы по строительству метро не дойдут).

И вот, представив схему метро в виде связного смешанного взвешенного графа, мы наконец можем выбрать маршрут поездки.

Для решения этой задачи разработаны различные алгоритмы, отличающиеся методами поиска пути, затрачиваемыми ресурсами (временем, вычислительными мощностями, сложностью реализации), требованиями к исходным данным и их предварительной обработке (например, исключение заведомо непригодных вариантов или ввод эвристических предположений о весе различных путей), а также критериями выбора результата.

Понятно, что для нахождения самого-самого оптимального пути нужно перебрать все существующие варианты, затем сравнить их веса и выбрать наименьший. Но на это может уйти неприемлемо много времени, за которое исходные данные изменятся и результат потеряет актуальность (метро быстро строят, да). Можно оптимизировать процесс, прекращая поиск пути, если в процессе расчета его длина оказывается больше, чем длина кратчайшего из уже найденных путей.

Кроме того, сами пути можно искать, следуя разным принципам: двигаясь по ребрам с наименьшим весом (предполагая, что чем меньше каждое из слагаемых, тем меньше будет итоговая сумма), перебирая как можно больше вариантов ответвлений (поиск «в ширину») или последовательно идущих ребер (поиск «в глубину»).

Критерии остановки и принятия решения о приемлемости результата также различаются в зависимости от алгоритма, конкретной задачи и организационных и технических возможностей и ограничений. Это может быть и просто факт обнаружения маршрута, и получение маршрута с весом, меньшим веса ранее используемого или эмпрически предложенного маршрута или заданных максимальных допустимых затрат, и временнЫе ограничения на выполнение алгоритма с выбором лучшего варианта из тех, которые удалось найти.

#математика
#Соловьева

🍊Пришла пора, когда прилавки продуктовых отделов ломятся от количества оранжевых цитрусовых, а в больших торговых центрах из них строят целые пирамиды — вот про такие постройки и пойдет сегодня речь. В этом лонге наш математический гений Александр Грибоедов расскажет о том, как максимально эффективно упаковать круги, сферы и мандарины и при чём тут кристаллы. Ну и подкинет новогоднего настроения собственноручно сделанными иллюстрациями!

https://telegra.ph/Nashestvie-mandarinok-ili-nemnogo-o-plotnoj-upakovke-12-26

#Грибоедов
#математика
#лонг

Среди поэтических сокровищ, оставленных нашим великим национальным поэтом А.С.Пушкиным, есть стихотворение, прямо относящееся к физике, точнее – к механике. Называется это стихотворение «Движение». Оно небольшое по объему – в нем всего 8 строк, но очень богатое по содержанию. В первых четырех строках читаем:

"Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый".

Здесь поэт рассказывает о легендарном споре двух древнегреческих философов. «Мудрец брадатый» – это Зенон Элейский; его противник в споре – Диоген Синопский. Первый утверждал, что движение невозможно; второй стал молча «пред ним ходить», как бы наглядно показывая несуразность такого утверждения.

А дальше А.С.Пушкин пишет:

"Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит.
Однако ж прав упрямый Галилей".

Этими словами поэт показывает, что доказательство Диогена вовсе не такое безупречное, как казалось тем, кто хвалил «ответ замысловатый». В самом деле, ведь солнце ежедневно делает то же, что делал Диоген, маршируя перед Зеноном: оно «пред нами ходит». В действительности же, как вслед за Коперником утверждал «упрямый Галилей», солнце покоится, а движется (вращается вокруг своей оси) земля. Но никакого другого доказательства Диоген дать не мог, поэтому он и «смолчал».

Сейчас неправоту утверждения Зенона можно доказать, не прибегая к методу Диогена. Попробуем это сделать. Прежде всего, постараемся представить себе, как Зенон пришел к выводу, очевидно несуразному,
что «движенья нет».

Зенон, по-видимому, рассуждал следующим образом. Тело, двигаясь по некоторой траектории, в любой момент времени может быть где-то застигнуто. Можно считать, что в этом месте и в это мгновенье тело покоится, т.е. что его скорость равна нулю. Следовательно, движение есть лишь название, данное множеству следующих одно за другим состояний покоя. В каждом таком состоянии покоя перемещение тела, естественно, равно нулю. Складывая это непрерывное множество нулей, Зенон, конечно, получал в итоге ноль: «движенья нет»!

Так вот, ошибка Зенона как раз и состоит в том, что скорость тела в каждой точке траектории он считал равной нулю. На самом деле в каждый момент времени движущееся тело обладает скоростью – так называемой мгновенной скоростью v. А раз оно обладает скоростью, то за любой сколь угодно малый промежуток времени dt тело совершает малое перемещение s =v(dt)

Число таких малых перемещений, в пределе – бесконечно малых, за все время движения t бесконечно велико. Но сумма бесконечно
большого числа бесконечно малых слагаемых равна не нулю, а вполне определенной величине: s = vt (если скорость v одинакова во всех точках). Складывать нужно не нули, как это делал Зенон, а малые перемещения v(dt). На это впервые указал, спустя почти 2000 лет после легендарного спора, основоположник классической механики Исаак Ньютон, создавший, кроме того, еще и замечательный математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В заключение сделаем не очень существенное для темы нашей статьи замечание. В действительности очный спор Зенона с Диогеном состояться не мог: Диоген (около 400–325 до н.э.) родился через 30 лет после смерти Зенона (490–430).

Автор - А. Кикоин, журнал "Квант", №10 за 1984 год.

P.S. Случайно наткнулся на номер Кванта, и решили попробовать выложить. Если вам интересно периодически читать подобные простые статьи из него, будут ещё :3

#математика
#журналы
#архив
#квант

А где же матрицы в этом описании? А они находятся в умении работать с векторами. Операции по повороту, увеличению или уменьшению длины, нахождению углов между векторами или поиска площади параллелограммов, заданных векторами – и есть влияние матрицы на вектора (произведение матрицы на вектор) или выводятся из матриц, составленных из рассматриваемых векторов.

Сюда же входят физические задачи. Например, явление дрейфа электронов под действием электрического поля в перпендикулярном полю направлении. Такое явление происходит из-за интереснейших свойств среды, в которой двигаются электроны. Для записи таких явлений в уравнения записываются в матричном виде, где недиагональные элементы матрицы и описывают такие системы.

*) Такие уравнения называют тензорными. Тензор второго ранга можно записать в матричном виде. При перемножении тензора напряжений на вектор, описывающий направление деформаций, диагональные элементы тензора описывают деформации, возникающие в направлении приложенной силы. А недиагональные элементы тензора описывают деформации, направленные по осям, перпендикулярным направлению внешней силы.

Самое интересное в матрице то, что она не является числом, но при этом следует большинству правил, которым подчиняются числа. Правило умножения на константу, правило сложения, наличие единицы и нуля. Мы можем назвать числа всего лишь одним из видов матриц (размером один на один), а математику матрицы – расширением математики чисел. И такое расширение дало нам необычайно много. Матричная математика стала основной квантовой механики, а тензорная математика (можно сказать, идейное продолжение матричной математики) легла в основу общей относительности. Двух современных основ физики, расширившими ее применение и теоретические пределы далеко от границ известного в начале 20 века.

P.S. Это вторая подсказка на нашей игре #Форт_Боярд. Первая лежит здесь.

#Математика
#Максимов

P.S. Я и сам не ожидал такого поворота. Думал, будет что-нибудь связано со складками тоги, мол, они как волны расходятся и напоминают синусоиду. А оно вон как: из Греции через Индию и на латынь.

#квант
#лингвистика
#математика
#архив

Слово «корень» — русское слово, но математический смысл этого слова имеет очень длинную и интересную историю.

Древнегреческие учёные — пифагорейцы (V век до н. э.) связывали с числами геометрические представления и изображали произведения двух и трёх сомножителей в виде прямоугольников и прямоугольных параллелепипедов, стороны и ребра которых равны сомножителям.

Поэтому они называли произведения двух и трёх сомножителей соответственно «плоскими» и «телесными» числами, а произведения двух и трёх равных сомножителей — соответственно «квадратными» и «кубическими» числами. Именно такая терминология применяется в арифметических книгах «Начал» Евклида (III век до н. э.), остатком этой терминологии являются наши термины «квадрат» и «куб» для чисел вида n² и n³.

Согласно терминологии пифагорейцев, корень из «квадратного» числа назывался «стороной» (по-гречески «плевра»), что означает также «оболочку», откуда «плеврит» — воспаление оболочки лёгкого, или «основанием» (по-гречески «базис»), откуда наше слово «база».
Когда в V веке н. э. александрийская научная школа погибла, а александрийский астроном Паулос бежал в Индию, термин «базис» был переведён на санскрит словом «пада», означающим основание, а также корень растения.

В VIII веке при переводе «сиддхант» индийских учёных на арабский язык переводчик понял слово «пада» как «корень» и перевел его арабским словом «джизр», обозначающим корень. Параллельно в арабской математической литературе существовал и другой термин для корня из числа — «дил» («сторона» или «ребро»), перевод того самого греческого слова «плевра».

Но если слово «джизр» применялось для квадратных корней и корней квадратных уравнений, то слово «дил» применялось для корней высших степеней: математики, писавшие на арабском языке, называли кубический корень «ребром куба», корень 4-й степени — «ребром квадрато-квадрата», корень 5-й степени — «ребром квадрато-куба», корень 6-й степени — «ребром кубо-куба» и т.д.

В XII веке при переводе арабских терминов на латинский язык слово «джизр» было переведено словом «radix», также обозначающим корень (от этого слова, обозначающего также «корнеплод», происходит наше слово «редиска»), а слово «дил» было переведено словом «latus», также обозначающим сторону и ребро. В «Арифметике» Магницкого слово «radix» было оставлено без перевода — «радикс», а слово «latus» было переведено словом «бок», но впоследствии оба эти термина были вытеснены русским переводом слова «radix»— словом «корень». Впрочем, иногда наряду с этим словом употребляют и термин «радикал», также происходящий от латинского термина «radix».

"Почему мы так говорим?" - Розенфельд Б. Журнал "Квант", 1970/3

#квант
#математика
#лингвистика
#архив

Что может быть скучнее прогноза погоды? На первый взгляд кажется, что нет более далекой от прорывных научных открытий сферы, чем метеорология. Однако примерно 60 лет назад именно наука о погоде дала жизнь новой, странной и прекрасной области знаний – теории хаоса.

https://telegra.ph/Babochka-Lorenca-na-puti-k-novoj-nauke-05-29

#рыцари_науки
#математика
#Грибоедов
#лонг

Часто мы видим какие-либо закономерности в процессах происходящих вокруг. То, что летом возрастает спрос на тапки / плавки / мороженое — вроде бы очевидно. Такие предсказания не требуют какой-то изощренной умственной работы. Человеческий гений, однако, в стремлении формализовать и автоматизировать всё и вся придумал кучу методов, как эти закономерности изучать (как обгадиться на пустом месте, конечно же, тоже). Об этом сегодня речь и пойдёт.

В сегодняшем лонге Лиза #Иванова расскажет о том, как учёные делают предсказания, раскладывая Таро численные модели:

https://telegra.ph/Predskazaniya-po-matematishnomu-08-19

#математика
#лонг

2/2

Уже упомянутый Андре Вейль, срок пятидесятилетия которого неумолимо приближался, очень старался держаться на уровне своих более молодых коллег. Поэтому за выступлением одного из них (очень интересным, но путаным) на семинаре он следил с неотступным вниманием и задавал множество умных (как ему казалось) вопросов. Вейль радовался, что он, пятидесятилетний, не теряет нить доклада, в то время как более молодые уже совсем запутались и перестали слушать.

Когда доклад закончился, Вейль с ужасом узнал, что последние пятнадцать минут докладчик нёс совершеннейшую ахинею и все, кроме него, Вейля, были об этом в курсе. Так что процедуру кокотизации он благополучно провалил.

Другой пример. Жан Дьедонне выступил с критикой выпуска Бурбаки, посвященного интегрированию и ему предложили отредактировать труд согласно своей позиции. Дьедонне отнёсся к делу с большим энтузиазмом, забросил собственную математическую работу и целый год убил на переписывание труда. Когда он с двенадцатью экземплярами своего опуса явился на обсуждение, то получил одиннадцать резких критических отзывов. Первый из рецензентов заявил "Место этому уроду -здесь!" и швырнул свой экземпляр в камин. Тот же конец встретили ещё десять экземпляров труда. Оскорбленный в лучших чувствах Дьедонне удалился в свою комнату, где находился его собственный экземпляр труда об интегрировании, но обнаружил на столе кучку пепла и записку "Здесь покоится прах последнего урода Дьедонне"

Молодой американский математик Боас написал в американскую энциклопедию статью "Н.Бурбаки", чем-то не устроившую группу. В ответ злоязычные французы послали ему письмо "Вас ждёт страшная кара. Бурбаки". Через некоторое время он прочел в реферативном журнале отзыв на свою работу "Х.Боас - коллективный псевдоним группы молодых американских математиков, занимающихся исследовательской деятельностью. Сформулированные в данной статье результаты малозначительны, к тому же имеется грубая ошибка в ключевой лемме 2.2"

Группа Бурбаки существует во Франции до сих пор. Конечно, там уже работают совершенно другие люди, но общий стиль работ они стараются выдерживать

P.S. Основа заметки — статья из сборника "Математическое просвещение"

#математика
#Рыжок