Лекция 17. Применение производных

Ну хорошо, мы научились находить производные. Но зачем они нужны? Какие точно факты про функцию мы можем узнать, если знаем её производную? Из определения понятно, что производная должна быть связана с возростанием и убыванием, но как точно?

Оказывается, тут не всё так просто. Например, утверждение «если производная в точке положительна, то функция возрастает в некоторой окрестности этой точки», неверна — контрпример является, например, функция на картинке. А как правильно?

Помимо ответа на этот вопрос, мы обсудим теоремы Ролля и Лагранжа — ключевые утверждения, позволяющие переходить от локальных свойств функций, связанных с производными, к глобальным.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/

Видео: https://youtu.be/IPu5ymeJbHQ и начало https://youtu.be/rCM_omW0rBA

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar17.pdf

Лекция 18. Обратные функции и их производные

Бывают обратимые функции — это те, которые не переводят две разные точки в одну и ту же. Например, функция x^3 обратима, и у неё есть обратная — это кубической корень. Часто интересующие нас функции не являются обратимыми на всей области определения, но становятся обратимыми, если их ограничить на какое-то меньшее подмножество.

Проблема в том, что не для всякой функции, заданной формулой, можно записать обратную функцию в виде формулы. Однако, одно из достижений анализа состоит в том, что далеко не всегда нужно знать формулу, задающую функцию, чтобы узнать всё необходимое о поведении этой функции.

Например, если вы знаете, что функция дифференцируема, непрерывна и обратима, то вы можете найти производную её обратной, даже не имея явной формулы для этой обратной.

Конспект: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:18:inv-fun-deriv/

Видео: https://youtu.be/rCM_omW0rBA?t=2780

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar18.pdf

Я знаю, вы подписались на этот канал ради лекций по матанализу, но сейчас я вынужден написать на совсем другую тему. Реальность, в которой я писал этот учебник, уничтожена. Россия напала на Украину и ведёт войну, каждый день гибнут люди, и наша страна закономерно превращается в страну-изгоя, изолированную от всего окружающего мира. Вероятнее всего, вы учили матан, чтобы найти хорошую работу в какой-то высокотехнологичной отрасли или заниматься наукой. Но на ближайшие десятилетия в России не будет высоких технологий и науки — потому что они основаны на международном сотрудничестве.

И самое страшное — всё, что происходит сейчас, делается от имени нас с вами — народа России. Это клеймно останется с нами навсегда. Через десятки лет в разных концах мира к нам будут относиться как к гражданам страны-агрессора, ответственной за развязывание страшной войны.

У нас нет простого способа остановить войну, но мы обязаны попытаться это сделать. Сегодня, с 14:00 по всей стране пройдут (и уже идут) митинги протеста против войны. Выйти на них страшно — они не согласованные, и там могут задержать. Но судьба нашей страны сейчас гораздо страшнее.

К сожалению, я не смогу принять участие в митингах сам, т.к. был вынужден уехать из России — меня пытались арестовать как раз за распространение информации о митингах. Однако, я выходил на несогласованные протестные акции много раз, по разным поводам, и в частности был на антивоенной акции неделю назад. Она была малочисленной, и поэтому более опасной — чем меньше людей, тем проще попасть под задержание. Нынешняя акция будет большой, и значит более безопасной. Если вы хотите выйти, надо выходить сегодня.

Подробнее можно узнать в канале движения «Весна» (https://yangx.top/vesna_democrat) и других источниках.

Будьте осторожны, берегите себя, и если у вас будут какие-то вопросы — пишите.

Кстати, я поздновато написал это сообщение, но если вы думаете, что выходить уже поздно — то нет, в самый раз. Мы обычно опаздывали на митинги на час, и в это время как правило всё только начиналось — по крайней мере, в Москве. Самый опасный момент — когда людей мало, например, они уже расходятся — тогда риски задержания максимальны. Старайтесь держаться ближе к другим протестующим.

Часть протестующих начала шествие от Охотного ряда до Манежа