(Должно быть интересно не только #математикам)

Есть в моей жизни прóклятая традиция: раз в несколько месяцев спорить о том, чему равно 0⁰. Многие настаивают, что это “не определено”.

Для двух натуральных чисел m, n есть разные способы придать смысл выражению mⁿ. Например, такие:
• Произведение из n сомножителей, каждое из которых равно m
• Количество отображений из множества, в котором n элементов, в множество, в котором m элементов (это количество равно количеству строк длины n, составленных из алфавита, в котором m букв).

Произведение, в котором 0 сомножителей, равно 1. Число строк длины 0, которые составлены из алфавита, в котором 0 букв, равно 1 (только пустая строка). Какую теорему ни возьми, в которой участвует возведение в степень, при подстановке туда вместо 0⁰ чего бы то ни было, кроме 1, получится неверное утверждение. Достаточно взглянуть хотя бы на школьную биномиальную теорему.

Тем не менее, люди иногда (часто) продолжают настаивать, что 0⁰ не определено. Это поведение обусловлено (обычно не напрямую) одним-единственным фактом: вещественнозначная функция f : [0, ∞)² → [0, ∞) двух вещественных переменных, равная (x, y) ↦ x^y, не является непрерывной, а именно, имеет разрыв в точке (0, 0). Разрыв неустранимый: нельзя переопределить эту функцию в (0, 0) так, чтобы она стала непрерывной.

Почему именно на основании этого факта нужно считать, что 0⁰ не определено — загадка. Функция f никакой важной роли не играет. Я даже никогда не видел ни одной теоремы, где она упоминается. Не знаю и ни одного появления этой функции в физике.

Это примерно как утверждать, что sin 0 не определен, потому что функция ctg не является непрерывной на ℝ. Только это еще хуже, потому что ctg хотя бы является некоторой осмысленной, полезной функцией.

Кстати, комплексный анализ должен, по идее, оказывать на это мракобесие лечебный эффект: при изучении комплексного анализа никакой “функции «z₁ в степени z₂»” не появляется, и обычно до читателя доводится, что эта конструкция вовсе бессмысленная, и что есть разве что (z₁, z₂) ↦ exp(z₂ ln z₁) — а эта функция попросту не определена в (0, 0), и поэтому видно, что проблема лишь во франкенштейновской f, но никак не в несчастном 0⁰.

Так что комплексный анализ должен, по идее, оказывать на это мракобесие лечебный эффект. Но не оказывает.

(Будет интересно только #математикам — хотя в более идеальном мире, чем наш, было бы интересно и датасайентистам)

“Выпуклая комбинация точек” — понятие, осмысленное для точек аффинного пространства. Иначе говоря, оно осмысленно всего лишь если разница двух точек — это вектор, который можно параллельно переносить вдоль пространства всех точек, и векторы можно (коммутативно) складывать. От системы координат результат не зависит. В принципе, само пространство может не быть координатизируемым в привычном смысле. Например, в нём может быть нельзя ввести координаты, являющиеся элементами кольца с делением; это имеет место тогда и только тогда, когда не выполняется теорема Дезарга.

Произвольная выпуклая комбинация имеет вид
𝚺pᵢxᵢ + (1 − 𝚺pᵢ)x
= 𝚺pᵢxᵢ + x − 𝚺pᵢx
= x + 𝚺pᵢxᵢ − 𝚺pᵢx
= x + 𝚺pᵢ(xᵢ − x)

Иначе говоря, про выпуклую комбинацию точек можно думать так: выберем любую точку x, рассмотрим направления из неё ко всем точкам из данной выпуклой комбинации, и в каждом направлении (из точки x в точку xᵢ) продвинемся на pᵢ, где pᵢ — коэффициент при точке xᵢ в данной выпуклой комбинации. Отметим, что коэффициент при “стартовой” точке x в выпуклой комбинации роли не играет; например, он может быть равен 0 — т.е., за исходную можно взять любую точку, в том числе ту, которой в выпуклой комбинации “нет” (т.е., которая входит в неё с коэффициентом 0). Существенно лишь то, что сумма коэффициентов равна 1. Отметим ещё, что, хотя мы и говорим “продвинемся на pᵢ”, это вообще совсем не означает, что в пространстве есть метрика.

Пространство заведомо координатизируется, если в нём есть хотя бы две различные плоскости (иначе говоря, если его размерность больше, чем 2). Но плоскости координатизируются не всегда. Геометрически это значит, что теорема Дезарга в 3-и-более-мерных пространствах выполняется всегда, а вот в плоскостях не всегда выполняется. Примером “недезарговых” совокупностей координат являются системы Веблена — Веддербёрна. Известны плоскости, координаты в которых образуют систему Веблена — Веддербёрна, но не образуют кольцо с делением. Про них немного написано, например, в элементарной книге M. K. Bennet “Affine and Projective Geometry”, в разделах 5.6–5.8.

P. S. Пространство координатизируется кольцом с делением, если в нём есть хотя бы две различные плоскости. Сложение векторов в пространстве коммутирует, если в нём есть хотя бы две различные прямые.

Недавно готовил такой сэндвич, какой, возможно, никто никогда не готовил. Обычный хлебный батончик с обычной дешёвой копчёной сосиской, обычные соусы, овощи. Но к этому я ещё добавил кусочки соевого мяса. Насколько я слышал, белковая ценность повышается сильно.

Думаю, те, кто ест соевое мясо, дешёвые копчёные сосиски обычно не едят, и наоборот. Потому и подозреваю, что продукт уникальный.

Так что открывайте ларьки и стойки с вывесками “очень белковые сэндвичи!”. Я б сам открыл, но я всё как-то не понимаю протокол, и денег на риск маловато. Хотя надо, конечно, предварительно проверить, действительно ли в сое так много белка, как мне рекламировали. А то обманывать на вывесках нехорошо.

Как известно всем, с кем я общаюсь сколько-нибудь долго, я смотрю только один видеоканал. С кинообзорами. Среди регулярных гостей там бывает пара канадцев, профессионально работающих над спецэффектами. Оказалось, один из них, Джим, пишет вот такие картины. Это акрил. Прикольно такое узнавать про людей, шоу с которыми давно смотрю.

Они там вообще талантливые. Рич классный плотник, а недавно, оказывется, ещё и скетчи рисовал для их анимации. При этом они все такие “простые” midwestern мужики. Здорово, что у них такой успешный Патреон (они там где-то в самом топе были; может, и сейчас тоже так). Правда, в комедйном плане у них сейчас не выдающийся период, так что недавние видео вряд ли произведут большое впечатление на новых зрителей.

Лет 10 с лишним назад мне внезапно пришло в голову, что есть очень естественное, прям-таки напрашивающееся соответствие между операционной системой, которой человек пользуется, и средством организации данных, которым он пользуется то ли наиболее часто, то ли с наибольшим предпочтением:

Открытая Unix-like — деревья
macOS — тэги
Windows — таблицы

Мне до сих пор кажется, что это прикольное соответствие.

Только сейчас узнал про математическую загадку “все лошади одного цвета”.

Доказательство по индукции.

Если в табуне одна лошадь, то все лошади в таком табуне очевидно одного цвета. Предположим, что в любом табуне из n лошадей все лошади одного цвета, и докажем, что в табуне из n+1 лошадей тоже так. Если мы исключим из табуна какую-то произвольную лошадь, получится табун из n лошадей, где все лошади одного цвета по предположению индукции. Если мы исключим из табуна какую-то вторую лошадь, то тоже получится табун из n лошадей, которые одного цвета по предположению индукции. Но в первом случае вторая лошадь была такого же цвета, как оставшиеся, а во втором случае первая лошадь была такого же цвета, как оставшиеся. Значит, первая, вторая и оставшиеся — все одного цвета.

Однако на картинке мы видим двух лошадей разных цветов, так что утверждение неверно. Парадокс!

В ыксе обсуждают сервис “солнечный свет на заказ” (со спутника).

Представляю объявление о хайке: “…в стоимость поездки также включены 30 минут солнца после заката, на случай, если задержимся”.

Делаю визаран.

К (маловероятной) ситуации, что меня не пустят назад, я толком не готов: буду в Армении без интернета; никого там не предупреждал, что могу там оказаться.

Но, думаю, всё будет хорошо.

Уже несколько лет считаю, что было бы неплохо нормализовать обозначение

a'

для элемента, обратного к a. Обычно его записывают

a⁻¹

При чтении записи, сделанной рукой, перепутать a' и a¹ почти невозможно, потому что никто не пишет a¹.

Несколько недель назад я шёл около перекрёстка Гиорги Читая (на картах написано Giorgi Chitaia Square (გიორგი ჩიტაიას მოედანი), но по-моему это не очень Square, а насчёт моэдани у меня нет интуиции), и некий человек, выходя из магазина, протянул мне (нераспечатанную) банку пива Efes Pi*ls*e* (0.5 л) и сказал нечто, эквивалентное “на!”.

Я чуток посомневался, мы обменялись парой фраз, но в итоге я принял сей подарок.

Примерно неделю назад я вышел из вагона метро на станции “Марджанишвили” (მარჯანიშვილი), и меня остановил человек, который стоял рядом со мной в вагоне на предшествующем этой станции перегоне. Он спросил, говорю ли я по-русски, и я (предполагая неладное) сказал, что да. Он начал производить какие-то движения руками в окрестности моих карманов, а я, как мог, постарался заблокировать сих карманов содержимое, но обнаружил, что он мне суёт что-то в руки, ну а в силу этого ему, должно быть, тяжело залезть в карманы, так что я пошёл с ним на контакт (всё там же, в районе пояса, и руками). Оказалось, что он передаёт мне 10 лари (≈3.66 USD). Я вместе со своими спутниками двинулся к выходу, сказав в ответ нечто вроде “э”. Перед подъёмом на эскалатор он оказался рядом и объяснил: “Это подарок от Бога”, и вот тогда-то я успокоился и протянул понимающее “А-а-а, ну тогда понятно”. На протяжении некоторого времени я пытался рационализировать произошедшее, но быстро вспомнил, что нечего пытаться рационализировать подарки от Бога.

Возможно, я выгляжу как человек, который мало ест.

“High place phenomenon” — забавное название, как будто ребёнок придумал.

Название описывает появление мыслей о том, чтобы прыгнуть с большой высоты, всего лишь при наблюдении этой самой высоты. Согласно исследованию [1], опубликованному в 2011 году, эти мысли возникают одинаково часто и у тех, кто имеет суицидальные мысли, и у тех, кто не имеет. Авторы предполагают, что явление вызвано неоптимальной синхронизацией систем защиты — именно, от того, что сигнал безопасности “отойди от высоты” подаётся слишком быстро. Впрочем, я не понял это объяснение.

[1] https://doi.org/10.1016/j.jad.2011.10.035

High place phenomenon — это частный случай того, что называется “intrusive thought”, помысле о вредоносном поведении или просто поведении, которое нарушает общественный покой. В Википедии в первую очередь упоминаются помыслы о насилии, сексе и богохульные мысли. У меня ничего такого не было (богохульство в светском обществе, конечно, всерьёз и воспринимать-то нельзя). Но про прыжки я регулярно думаю, и ещё (редко) про всякое заведомо дурацкое поведение, типа “что, если я залезу на общий стол с едой безо всякой причины? это было бы очень глупо”.

Некоторые мысли такого вида у меня есть с подросткового возраста, если не раньше. Но я до сегодняшнего дня не знал название “intrusive thoughts” и не знал, насколько это распространённое явление. Говорят, что оно есть вообще у всех. Но у меня нету таких мыслей, которые были бы при этом связаны с насилием или сексом, и я теперь думаю, не является ли это плохим признаком.

4 года назад был на Ночи выборов в “Новой Искренности”. Это было открытие клуба.

Уехал домой утром с уверенностью в победе Трампа.

Сейчас обе стороны эпизодически транслируют, что если другая сторона победит, это будут последние выборы в США. Я не склонен к таким радикальным оценкам, но это кризис. До какого-то момента люди жали друг другу руки, и жизнь шла своим чередом. А потом это прекратилось.

Интерактивная демонстрация о доверии с точки зрения одного простого примера из теории игр (ссылка — из политического раздела лиспочата). Хорошо сделано, посмотрите.

Проснулся рано утром, вокруг темно ещё.

Тут узко, ноги упираются в стену. При этом они оказались в такой конфигурации с одеялом, что если ими совершать движения, напоминающие движения при шагах, получается характерный хрустящий звук, как будто кто-то идёт по снегу. Похрустел так в тишине, не упуская возможности порадоваться чему-то такому, незаметному.

Живу духовной жизнью, в ней всё хорошо.

Дальше интересно только #математикам
Живя духовной жизнью, иногда думаю о связях между алгебрами инцидентности и моноидальными алгебрами. Моноидальная k-алгебра на моноиде ℕ — это алгебра полиномов от одной переменной, она же свободная моногенная коммутативная k-алгебра. При этом (приведённая) k-алгебра инцидентности — это k-алгебра степенных рядов, которая есть некоторое пополнение алгебры полиномов. Полиномы — функции на “графе Кэли” моноида ℕ с компактным носителем, а степенные ряды — функции на том же графе, но уже с любым носителем. Некомпактность не создает проблем, потому что свёртка всегда идёт по компактному пространству — в определении алгебры инцидентности требуется некоторый вариант локальной компактности этого самого “графа Кэли” (ну и там это всегда должен быть не любой граф, а частичный порядок). Я слышал, что в некоторых разделах физики известен трюк: определять свёртку так, чтобы интегрирование было только по компактам — у этого есть очевидные преимущества. Мой интерес к этим алгебрам связан во многом с такими преимуществамм. В функциональном анализе начинают с того же при определении групповой алгебры на локально компактной группе, но в этом случае всё равно приходится рассмативать функции с компактным носителем, в отличие от нашего моноидального случая.

В то время как моноидальная алгебра — алгебра функций на вершинах “графа Кэли”, алгебра инцидентности — алгебра функций на его рёбрах. При этом явный интерес представляют приведённые алгебры инцидентности, и переход к ним — это некоторый шаг от “слишком обширной” алгебры функций на ребрах к алгебре функций на некоторых классах экивалентности путей. При этом нет простого критерия того, какие именно отношения эквивалентности подходят, который был бы сформулирован в терминах самого частичного порядка.

Наконец, хоть и полиномы, и степенные ряды — функции на “графе Кэли” моноида ℕ, тот факт, что и те, и другие могут рассматриваться как функции на его вершинах, может быть просто совпадением, обусловленным какими-то конкретными особенностями “графа” (частичного порядка). Оставлю этот вопрос на будущее.

Видимо, это самый толстый по массе фарша бургер, который я готовил. 280г — это 2⅓ Роял Чизбургеров по массе фарша (говорят, с 2016 в России они называются Гранд Чизбургеры, а я и не знал).

Как известно тем, кто смотрел фильм Pulp Fiction, в США Роял Чизбургер называется “¼-фунтовый чизбургер”. В 1980-х, конкурент Макдональдса под названием A&W попытался продавать похожий бургер, но ⅓-фунтовый; он не вызвал ожидаемого интереса публики, в том числе потому что клиенты считали, что третьфунтовая котлета меньше четвертьфунтовой, на основании того, что 3 < 4. Во всяком случае, бывший владелец A&W утверждал, что это показали исследования.

Некоторые дни распродаж называются “Чёрные пятницы”.

Очень странное название. Так ведь называют дни обвалов на бирже, знаменующие глубокий экономический кризис.

У меня идеальные музыкальные отношения с группой Morphine. Давным-давно я скачал каких-то 6 альбомов (вроде бы, тогда это была полная дискография), и каждые 4 года или около того слушаю их целиком за раз от начала и до конца. Мне каждый раз очень нравится, но я ничего не помню, и каждый раз слушаю как в первый.

В 2024 познакомился с возгласом “пупупу”, который есть звуки думания. Считаю, в Грузии следует говорить не “пупупу”, а “пупупули”.

С Новым годом! Несмотря ни на что, я настроен оптимистично, и вам желаю того же.

В последнее время в ответ на критику “современного капиталистического общества” я отвечаю, что оно и не капиталистическое вовсе.

Конечно, верно, что “альтернатива обществу потребления — это общество, в котором нечего потреблять”. Но тем не менее, общество потребления, оформившееся за последние 100 лет, — это явно контркапиталистическое общество. Ресурсы либо потребляются, либо откладываются, и капитализм — это как раз про отложенные ресурсы, которые, будучи отложенными, позволяют создать ещё более длинные и сложные циклы производства. Капиталистическое общество — это общество отложенного потребления, и потому оно антиконсюмеристское.

Будучи фискально ультраконсервативным, про-капиталистическим ортодоксальным сторонником свободного рынка, я являюсь противником консюмеризма.

Геометрическая теория сэндвича