Попалась задачка, думаю на выходных порешать. Присоединяйтесь)

Петя, сидя на балконе, вырезал по заданию Пифагоров треугольник со сторонами 30 см, 40 см и 50 см, но тут подул ветер и унёс треугольник в сад. Другой порыв ветра закинул прямо на этот треугольник маленького муравья. Бедняга полностью дезориентирован и начинает ползти прямо в случайном направлении, чтобы вернуться в траву.

Если предположить, что все возможные положения муравья внутри треугольника и все возможные направления движения равновероятны, какова вероятность, что муравей выйдет из треугольника по его самой длинной стороне?

Дайте ответ, округленный до 10 цифр после десятичной точки

Теорема Жордана: простая плоская замкнутая кривая С разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. То есть любой путь изнутри наружу пересекает С. Вот построен занятный пример кривой С (неспрямляемой), такой, что любой путь конечной длины из внутренней части в наружнюю пересекает С бесконечное число раз. Чтобы перелезть через колючую проволоку один раз, нужно двигаться по неспрямляемой траектории.

Детская задачка по программированию. Есть переменные А и В, одна из них равна 1, а другая 2. Поменять их значениями, не используя дополнительной памяти

В теории чисел есть важная теорема под названием "Квадратичный закон взаимности". Как и многое другое в математике, его открыл Эйлер; как и многое другое в теории чисел, его доказал Гаусс, в 1801 году.

(если у вас есть два простых числа p и q, этот закон объясняет связь между "найдется целый квадрат, который дает p в остатке при делении на q" и "найдется целый квадрат, который дает q в остатке при делении на p", поэтому "взаимность")

Гаусс так полюбил этот закон, что придумал шесть разных его доказательств. То, которое он нашел первым - самое сложное и запутанное. Оно занимает пять страниц текста, в зависимости от чисел p и q рассматриваются восемь разных случаев, у многих из этих случаев есть под-случаи, а в одном особенно коварном случае один из под-случаев разбивается на четыре под-под-случая.

Кто-то пошутил и назвал его "доказательством методом математического омерзения".

Ещё одна детская задачка вспомнилась:

Найти производную X^X (икс в степени икс)

Курс математики на журфаке МГУ читают второй год — программу можно посмотреть по ссылке. Как она вам? На мой взгляд, всё в целом разумно, разве что добавить комбинаторики и логики — может быть, за счет сокращения количества времени на интегралы
http://www.journ.msu.ru/downloads/2020/AN_Mediakom_Osnovy%20vysshey%20matematiki.pdf

У одного парня, работающего в центре, было две подруги, которые жили в противоположных концах города — на востоке и западе. Каждый день после работы он спускался в метро и садился на первый приходящий поезд. В какую сторону поедет — к той девушке и в гости

Количество поездов в каждую сторону одинаковое, но парень заметил, что к западной девушке он приезжает в три раза чаще, чем к восточной. Он подумал, что это судьба, и женился на ней

А почему так получалось на самом деле?

Как выяснилось, лауреаты Нобелевской премии живут в среднем на 1-2 года дольше, чем те, кому в награде отказали. Открыт, в сущности, рецепт бессмертия -- достаточно лишь удостаиваться Нобеля каждые год-два

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0167629608000775?via%3Dihub#!

Математика на службе атомного проекта. Сталин лично приказал МИАНу проводить расчеты в интересах ядерщиков
http://www.proatom.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=1941

Инго Уллиш, немецкий математик, который в начале этого года решил задачу о привязанном козле. По формулировке она выглядит упражнением по школьной геометрии:

Круглый забор ограничивает травяную лужайку площадью в 1 акр. Внутри вбивают колышек и привязывают козла, который сжирает всю траву, до которой может дотянуться. Какой длины должна быть верёвка, чтобы козёл объел ровно пол-акра?

Человечество билось над задачей 270 лет. Уллиш решил её при помощи комплексного анализа. Решение, по словам очевидцев, выглядит некрасиво
https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/

Заодно задачка: а точно до 24 июля 2025 года не будет Дня Пифагора?

Увлекательное чтиво для тех, кого не пугает фраза "вложение ленты Мёбиуса в 4-мерное пространство". Речь о старой задачке — возможно ли на замкнутой кривой отметить четыре вершины прямоугольника с любыми пропорциями сторон? Ну, в общем, да — https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:UpMUa4IcwUQJ:https://habr.com/ru/post/509576/+&cd=15&hl=ru&ct=clnk&gl=ru

Если не нравится перевод, то вот оригинал — https://www.quantamagazine.org/new-geometric-perspective-cracks-old-problem-about-rectangles-20200625/

Список магических чисел для программистов и сисадминов. В жизни этих людей, например, подозрительно часто встречается не особенно красивое число 1048576 — ну, так это просто мегабайт или 2^20

https://rachelbythebay.com/w/2020/11/26/magic/

Доцент-математик из Вышки придумал учебники нового типа. Заценим?
http://mathbook.info/

Лиза (Лайза?) Пиччирилло, аспирантка Техасского университета в Остине, обладатель одного из самых ярких достижений в математике в 2020 году. Лиза решила задачу об узле Конвея — доказала, что он является срезанным, но не является гладко срезанным.
Подробнее о том, что это такое, можно прочитать вот здесь, там же есть ссылки на статью с доказательством

Отец теории сверхпроводимости Виталий Гинзбург, получивший за неё Нобелевскую премию в возрасте 87 лет, прямо на банкете в Стокгольме сформулировал теорему:
Всякий физик получает Нобелевскую премию, если живёт достаточно долго

Интервью Гинзбурга целиком — https://www.msu.ru/press/federalpress/vitaliy_lazarevich_ginzburg_fizik_nobelevskiy_laureat_po_fizike_2003_nbsp_g_i_vladimir_trukhin_dekan.html

Загадка для любителей рекурсии. Получал ли кто-нибудь медаль Филдса за изучение полей?

Лауреат Филдсовской медали Андрей Окуньков о связи математики и скромности:

У меня есть любимый ответ на вопрос, какая самая главная вещь, которой нас учит математика. Меня она, прежде всего, учит скромности. В природе множество задач, а решить можно только маленькую часть, и, когда это происходит — мы радуемся. Вообще научное открытие — это радость, решил задачу — хорошо, не решил — нормально.
...
Хорошее математическое образование дает человеку возможность научиться отличать вещи, которые надо обязательно взять с собой в профессиональный поход по жизни, от вещей, которые вроде бы и не совсем бесполезны, и красиво выглядят, но нет необходимости тащить с собой, их всегда можно «купить в ближайшем магазине» (посмотреть в интернете). Математика — это такое путешествие, где лишний багаж не помогает.

Полностью интервью порталу Вышки (2014)

Теорема Пифагора: доказательство Евклида

Ввиду важности темы, элегантности и элементарности доказательства, а так же уникальной технической реализации, «windmill proof» теоремы Пифагора обрело свою отдельную страницу https://etudes.ru/etudes/pythagorean-theorem-windmill-proof/ .

Три вариации этого красивого доказательства теперь снабжены не менее красивой анимацией, реализованной по технологии анимированных SVG-файлов. И это новый формат точных математических чертежей: каждое «видео» – текстовый файл исполняемый браузером и весящий меньше 9 килобайт! И это не опечатка – видео измеряется в килобайтах.

Вы можете скачать этот файл и показывать на своём компьютере, а можете вставить на свою страницу!

Отдельное спасибо Михаилу Панову, который умеет проникнуть в суть любого алгоритма с чёткими правилами – будь то TeX, MetaPost или, как сегодня, SVG-анимация. Это умение, помноженное на великолепное знание геометрии и удивительное усердие писать ручками код, приводит к действительно чудесам!

Обратим внимание, что на новом сайте заработала пользующаяся неизменной популярностью интерактивная головоломка по теореме Пифагора.

Наслаждайтесь сами и показывайте другим:
красивое доказательство теоремы Пифагора https://etudes.ru/etudes/pythagorean-theorem-windmill-proof/ ,
интерактивная головоломка https://etudes.ru/etudes/pythagorean-theorem/ .