#субботняязадача #квадрированиекуба

Прежде, чем сформулировать сегодняшнюю задачу, хочется немного рассказать о достижениях математиков.

В 1903 г. Макс Ден (германо-американский математик, ученик Гильберта) задал вопрос: «Можно ли разрезать квадрат на конечное число меньших квадратов, все разных размеров?».

Долгое время задача считалась неразрешимой — до 1939 г., когда первые примеры такого разбиения были найдены четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета. Удивительным образом, эта задача оказалась тесно связанной с теорией графов, комбинаторикой и... правилами Кирхгофа из физики.
Они предложили представлять квадраты разбиения как элементы электрической цепи: линейный размер квадрата — сопротивление резистора; горизонтальные границы между квадратами — узлы цепи; вертикальные границы — контуры.
Как это работает? Каждый квадрат «втекает» током в свои границы.
🤩 По первому правилу Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. В терминах квадратов это означает, что сумма длин сторон, сходящихся в узле, должна быть одинаковой.
🤩 По второму правилу Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Для квадратов это условие сохранения размеров при обходе контура.
Таким образом, задача свелась к решению системы линейных уравнений, где неизвестные — длины сторон квадратов. Решение этой системы даёт искомое разбиение.
В 1978 г. было найдено минимальное разбиение из 21 квадрата (его размеры — корни системы из 26 уравнений!). Интересно, что его нашёл студент-архитектор из Нидерландов — не математик.

Задача о квадрировании квадрата — яркий пример того, как идеи из одной области науки (электротехники) могут неожиданно решить проблему в другой (геометрии). Она напоминает: математика — это не набор изолированных тем, а единый организм, где всё взаимосвязано. Кажущиеся абстракции могут оказаться ключом к решению практических проблем — даже если для этого нужно представить квадраты резисторами!

Прочитать о квадрировании квадрата с помощью электрических цепей можно в книгах:
🔰 Яглом И.М. «Как разрезать квадрат», 1968;
🔰 Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», 1971.

На нашем рисунке как раз представлено разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных. Число внутри каждого квадрата означает длину его стороны. Соответственно, длина стороны большого квадрата равна (складывая длины сторон крайних квадратов) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112.

А теперь сама субботняя задача:

Существует ли куб, который можно разбить на конечное число попарно различных кубов с целочисленными значениями длин рёбер?

Пишите ваши версии в комментариях!