Гомеоморфизмы поверхностей

Нужно представлять себе, что у нас есть две копии нашей поверхности. Одна копия сделана из чего-то твёрдого (манекен), а другая — из резины или ткани (куртка), т.е. её можно растягивать, скручивать и сжимать.

Также правильно представлять себе, что на этой поверхности есть опоясывающие молнии с застёжками-собачками. (Такие молнии расстёгиваются и застёгиваются однозначно — чтобы обеспечить непрерывность.)

Гомеоморфизм — это правило, по которому мы берём нашу гибкую поверхность, расстёгиваем застёжки, взаимно-однозначно надеваем поверхность на манекен и застёгиваем молнии обратно.

(источник)

"Скручивание Дена" поверхности вдоль кривой как гомеоморфизм (источник)

Группы классов отображений поверхностей

00:00 Диффеоморфизмы поверхности, сохраняющие ориентацию
04:14 Как правильно думать о гомеоморфизмах и диффеоморфизмах
07:53 Определение группы классов отображений поверхности (aka модулярной группы)
10:50 Пример: скручивание Дена на торе
17:20 Кривые на поверхности (замкнутые, простые, существенные, неразбивающие)
27:08 Изотопия vs гомотопия
30:38 Алгебраический и геометрический индексы пересечения кривых
38:57 Критерий минимальности (отстутствие двуугольников)
46:00 Модулярная группа на бис
49:23 Модулярная группа диска (трюк Александера)
56:28 Модулярная группа сферы с 3 проколами
01:02:25 Модулярная группа кольца/ленты/цилиндра
01:05:59 Модулярная группа штанов
01:06:30 Определение скручивания Дена
01:12:36 Лемма об индексе пересечения
01:21:49 Нетривиальность скручиваний Дена
01:27:14 Свойства скручиваний Дена
01:39:04 Тождество фонарщика/лампочника

(источник)

Теруаки: режем, скручиваем, клеим

Нажмите на одну из пяти кривых, чтобы применить скручивание Дена вдоль неё. Цель: перевести заданный узор в стандартный.

Всего доступно 30 уровней. Играть — по ссылке.

По теореме Дена—Ликориша, любую неразбивающую простую замкнутую кривую можно перевести скручиваниями Дена в любую другую.

(источник)

Смешивая поверхности, алгебру и геометрию

Японцы говорят, что у каждого есть 3 лица. Первое лицо мы показываем миру. Второе — близким друзьям и семье. Третье мы не показываем никому. Оно и есть истинное отражение того, кто мы есть.

Доклад посвящен обсуждению трёх лиц гомеоморфизмов поверхностей.

Рассказ начинается с геометрии поверхностей, понимаемой с точки зрения простых замкнутых кривых на них. Начиная с этой скромной на первый взгляд темы, мы откроем удивительные и широкие связи между многочисленными областями математики, включая алгебраическую геометрию, теорию Тейхмюллера, пространства модулей, динамику, однородные пространства, симплектическую геометрию и бильярды. Целью рассказа является объяснение некоторых недавних результатов, посвященных теории Нильсена — Тёрстона. Мы проложим мостик от псевдоаносовских отображений к теории чисел, теории 3-многообразий, комплексному анализу и перемешиванию жидкостей.

00:00 Топология на карте математики
01:25 Сколько существует простых замкнутых кривых длины не более L на данной поверхности?
02:23 Тянутели тянучек и вытягивание ириски: золотое сечение
10:42 Псевдо-аносовские отображения (классификация Нильсена-Тёрстона)
12:40 Симулятор «Теруаки»
13:35 Лицо первое: группы классов отображений
15:48 Лицо второе: заблуждение Тёрстона и геометризация трёхмерных многообразий
22:44 Лицо третье: петли в пространствах модулей
27:58 Охота за малыми коэффициентами растяжения: задача Лемера, пример Пеннера и вопрос Лонга

(источник)

Теорема Керекьярто о периодических гомеоморфизмах

Доклад посвящён доказательству теоремы Керекьярто о том, что любой имеющий конечный порядок автогомеоморфизм диска или сферы сопряжен изометрии. Данный результат связан с теорией кос, является ключевым компонентом классификации периодических элементов в группах классов отображений поверхностей и открывает пути в теорию действий конечных групп на многообразиях и теорию орбифолдов. Изложение следует статье [A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjarto on periodic homeomorphisms of the disc and the sphere, 1994].

00:00 Примеры периодических гомеоморфизмов
08:22 Сопряжение как замена координат
12:00 Периодические гомеоморфизмы отрезка и окружности
23:21 Периодические гомеоморфизмы диска
24:54 Формулировка теоремы Керекьярто для диска
26:08 Лайт-версия теоремы Керекьярто и связь с косами
28:34 Лемма/трюк/приём Александера
41:03 Вывод лайт-версии из отсутствия кручения в группах кос
44:56 Лемма о пересечении дисков на плоскости
48:06 Вывод лайт-версии из леммы о пересечении дисков
59:46 Доказательство леммы о пересечении дисков
01:13:37 Периодические гомеоморфизмы поверхностей
01:14:12 Действие в окрестности неподвижной точки
01:15:02 Доказательство леммы об инвариантном диске
01:19:07 Классификация неподвижных точек
01:25:32 Наглядное представление
01:28:40 Пространство орбит действия
01:40:26 При факторизации поверхности получится поверхность
01:42:20 Каноническая проекция — разветвлённое накрытие поверхностей
01:46:18 Действия конечных групп на поверхностях
01:49:06 Доказательство общего случая теоремы Керекьярто для диска
02:20:25 Периодические гомеоморфизмы сферы
02:23:20 Формулировка теоремы Керекьярто для сферы
02:25:23 Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм сферы имеет неподвижную точку
02:43:07 Доказательство теоремы Керекьярто для сферы
02:57:58 Подведение итогов

Также доступен подробный конспект (источник)

Формула Эйлера и двойственность Пуанкаре

01:14 Введение в теорию графов
02:35 Конструкция двойственного графа
05:07 Самое интересное
07:13 Эйлерова характеристика сферы равна 2: доказательство

(источник)

Векторные поля на поверхностях

00:00 Зачем и кому нужны векторные поля
17:31 Траектории векторных полей
21:00 Фундаментальные задачи векторного анализа
24:50 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
28:17 Отображение эволюции (отображение фазового потока)
32:13 Степень непрерывного отображения между окружностями
38:10 Число оборотов векторного поля вдоль кривой
49:48 Лемма об сохранении числа оборотов при гомотопии кривой
54:16 Приложение: теорема Брауэра о неподвижной точке
58:00 Приложение: основная теорема алгебры
01:08:56 Индекс изолированного нуля
01:12:40 Векторные поля в трёхмерном пространстве
01:14:19 Степень непрерывного отображения между двумерными сферами
01:19:31 Это и есть наглядная топология
01:21:28 Векторные поля в электродинамике
01:28:29 Диполи, квадруполи, гексаполи, октуполи
01:36:01 Свойство аддитивности чисел оборотов
01:49:59 Векторные поля, заданные полигональным разбиением (триангуляцией) поверхности
01:47:52 Формула Эйлера—Пуанкаре (эйлерова характеристика)
01:52:48 Векторные поля на трёхмерных многообразиях
01:55:42 Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом
02:01:05 Теория Морса, гладкая и дискретная
02:02:49 Гомотопия, сокращающая два нуля противоположных индексов
02:04:11 Градиент как направление наискорейшего роста функции
02:09:32 Географическая версия формулы Эйлера—Пуанкаре

02:12:18 Напоминание
02:24:11 Теорема Эйлера—Пуанкаре—Хопфа
02:33:33 Доказательство
02:56:38 Векторные поля как сечения касательного расслоения
03:04:18 Расслоения со слоем окружность их числа Эйлера-Черна
03:23:05 Теорема о причёсывании ежа
03:34:05 Ротор и дивергенция
03:57:47 Симулятор векторных полей (ссылка)
04:00:28 Линейные векторные поля
04:16:18 Экспонента как эволюция линейного поля
04:24:18 Градиентные векторные поля
04:38:07 Точные (потенциальные) и коточные векторные поля
04:39:08 Замкнутые (безвихревые) и козамкнутые (бездивергентные) векторные поля
04:42:59 Разложение Гельмгольца—Ходжа—де Рама
04:57:49 Гармонические векторные поля и теорема де Рама

Также доступен подробный конспект (источник)

Наглядная теория гомологий

01:50 Симплициальные и клеточные комплексы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи

00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера-Вьеториса

00:00 Панорамный вид
10:00 Геометрический смысл последовательности Майера-Вьеториса
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)

(источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады

01:00 Формулировка
02:00 Двумерный аналог
03:04 Вероятность попадания на дугу
04:29 Перенос в 3D
05:24 Интегрирование
07:38 Изящное решение
08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра

(источник)

Три уровня понимания формулы Байеса

0:00 Думай медленно, решай быстро
4:09 Формулировка
10:13 Интуитивное понимание
13:35 Распространённая ошибка

(источник)

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса

00:19 Симметричность
01:15 Приложения
01:45 Распространенное заблуждение
02:38 Независимость событий
02:55 Геймифицированные примеры

(источник)