Формула Эйлера должна быть неравенством

00:00 Графы на поверхностях
01:55 Триангуляции
02:52 Графы на плоскости
04:39 Графы на торе
10:55 Интуитивное доказательство неравенства Эйлера
12:24 Эйлерова характеристика поверхностей

(источник)

Теорема о причёсывании ежа

00:07 Контрпример
00:35 Формулировка

Подробнее в мини-курсе «Векторные поля на поверхностях»

Что такое алгебраическая топология

0:33 Обзор
1:13 Формализация дыр
2:15 Симплициальные комплексы
4:20 Пример: окружность
5:44 Первая группа (симплициальных) гомологий
06:15 Пример: тор
8:05 Общее определение
9:35 Вторая группа (симплициальных) гомологий
10:23 Инвариантность
11:13 Сингулярные гомологии
13:12 Числа Бетти

(источник)

Теорема Брауэра о неподвижной точке

00:00 Эксперимент с картой
00:21 Формулировка теоремы (источник)
00:29 Контрпримеры (источник)
00:46 Цветная визуализация
01:17 Одномерная версия и её доказательство
02:17 Идея доказательства в 2D
03:54 Теорема Борсука-Улама
04:32 Доказательство

Подробнее в докладе

Доказательство теоремы Брауэра через лемму о барабане

00:00 Введение
00:58 Концептуальное значение теоремы Брауэра
01:53 Примеры и контрпримеры
03:40 Обобщения
07:50 Иллюстрации
13:20 Понятие ретракции
14:15 Теорема о барабане
16:07 Эквивалентность теореме Брауэра
19:17 Приложения
24:30 Доказательство теоремы о барабане
39:23 Обобщённая теорема о барабане
41:31 Полная версия теоремы Брауэра и её история
45:35 Доказательство (индукция по размерности)
47:15 Игра Гекс и теорема об отсутствии ничьих

Также доступен подробный конспект (источник)

Доказательство теоремы Брауэра через лемму Шпернера

00:23 Шпернеровские раскраски триангуляций
01:13 Важное наблюдение
01:48 Лемма Шпернера: найдётся разноцветный треугольник
02:23 Доказательство
04:29 Итоги и обобщения
04:42 Вывод теоремы Брауэра из леммы Шпернера
05:08 Двумерный симплекс (треугольник)
05:35 От отображения к раскраске точек треугольника
06:24 Применение леммы Шпернера
07:49 Применение теоремы Больцано-Вейерштрасса
08:28 Сведение воедино

(источник)

Гомеоморфизмы поверхностей

Нужно представлять себе, что у нас есть две копии нашей поверхности. Одна копия сделана из чего-то твёрдого (манекен), а другая — из резины или ткани (куртка), т.е. её можно растягивать, скручивать и сжимать.

Также правильно представлять себе, что на этой поверхности есть опоясывающие молнии с застёжками-собачками. (Такие молнии расстёгиваются и застёгиваются однозначно — чтобы обеспечить непрерывность.)

Гомеоморфизм — это правило, по которому мы берём нашу гибкую поверхность, расстёгиваем застёжки, взаимно-однозначно надеваем поверхность на манекен и застёгиваем молнии обратно.

(источник)

"Скручивание Дена" поверхности вдоль кривой как гомеоморфизм (источник)

Группы классов отображений поверхностей

00:00 Диффеоморфизмы поверхности, сохраняющие ориентацию
04:14 Как правильно думать о гомеоморфизмах и диффеоморфизмах
07:53 Определение группы классов отображений поверхности (aka модулярной группы)
10:50 Пример: скручивание Дена на торе
17:20 Кривые на поверхности (замкнутые, простые, существенные, неразбивающие)
27:08 Изотопия vs гомотопия
30:38 Алгебраический и геометрический индексы пересечения кривых
38:57 Критерий минимальности (отстутствие двуугольников)
46:00 Модулярная группа на бис
49:23 Модулярная группа диска (трюк Александера)
56:28 Модулярная группа сферы с 3 проколами
01:02:25 Модулярная группа кольца/ленты/цилиндра
01:05:59 Модулярная группа штанов
01:06:30 Определение скручивания Дена
01:12:36 Лемма об индексе пересечения
01:21:49 Нетривиальность скручиваний Дена
01:27:14 Свойства скручиваний Дена
01:39:04 Тождество фонарщика/лампочника

(источник)

Теруаки: режем, скручиваем, клеим

Нажмите на одну из пяти кривых, чтобы применить скручивание Дена вдоль неё. Цель: перевести заданный узор в стандартный.

Всего доступно 30 уровней. Играть — по ссылке.

По теореме Дена—Ликориша, любую неразбивающую простую замкнутую кривую можно перевести скручиваниями Дена в любую другую.

(источник)

Смешивая поверхности, алгебру и геометрию

Японцы говорят, что у каждого есть 3 лица. Первое лицо мы показываем миру. Второе — близким друзьям и семье. Третье мы не показываем никому. Оно и есть истинное отражение того, кто мы есть.

Доклад посвящен обсуждению трёх лиц гомеоморфизмов поверхностей.

Рассказ начинается с геометрии поверхностей, понимаемой с точки зрения простых замкнутых кривых на них. Начиная с этой скромной на первый взгляд темы, мы откроем удивительные и широкие связи между многочисленными областями математики, включая алгебраическую геометрию, теорию Тейхмюллера, пространства модулей, динамику, однородные пространства, симплектическую геометрию и бильярды. Целью рассказа является объяснение некоторых недавних результатов, посвященных теории Нильсена — Тёрстона. Мы проложим мостик от псевдоаносовских отображений к теории чисел, теории 3-многообразий, комплексному анализу и перемешиванию жидкостей.

00:00 Топология на карте математики
01:25 Сколько существует простых замкнутых кривых длины не более L на данной поверхности?
02:23 Тянутели тянучек и вытягивание ириски: золотое сечение
10:42 Псевдо-аносовские отображения (классификация Нильсена-Тёрстона)
12:40 Симулятор «Теруаки»
13:35 Лицо первое: группы классов отображений
15:48 Лицо второе: заблуждение Тёрстона и геометризация трёхмерных многообразий
22:44 Лицо третье: петли в пространствах модулей
27:58 Охота за малыми коэффициентами растяжения: задача Лемера, пример Пеннера и вопрос Лонга

(источник)