Топология линии
1. Идея непрерывности
2. Чем занимается топология?
3. Простейшие топологические инварианты
4. Эйлерова характеристика графа
5. Индекс пересечения
6. Теорема Жордана
7. Что такое линия?
8. Кривая Пеано

Топология поверхностей
9. Теорема Эйлера
10. Поверхности
11. Эйлерова характеристика поверхности
12. Классификация замкнутых ориентируемых поверхностей
13. Классификация замкнутых неориентируемых поверхностей
14. Векторные поля на поверхностях
15. Проблема четырех красок
16. Раскрашивание карт на поверхностях
17. "Дикая сфера"
18. Узлы
19. Коэффициент зацепления

Гомотопии и гомологии
20. Периоды многозначных функций.
21. Фундаментальная группа
22. Клеточные разбиения и полиэдры
23. Накрытия
24. Степень отображения и основная теорема алгебры
25. Группа узла
26. Циклы и гомологии
27. Топологическое произведение
28. Расслоения и спектральные последовательности
29. Теория Морса

(ссылка на книгу)

Кривая Гильберта: пример непрерывной сюръекции из окружности в квадрат

Кривая Серпинского тоже заполняет всё пространство

Конструкции необычных метрических пространств: портал сокращает расстояние

Портал увеличивает расстояние

Спуск вниз ведёт наверх (и подъём наверх ведёт вниз)

Портал изменяет размеры объектов

Голубая, красная, зелёная: куда делась четвёртая комната?

Голубая, оранжевая, фиолетовая, серая, зелёная, красная: откуда взялись лишние комнаты?

Чайник, обезьянка, кролик: обход столба телепортирует в следующую комнату

Все 29 топологий на трёхэлементном множестве (link)

Все 9 попарно негомеоморфных трёхточечных топологических пространств

Карта математики широкими мазками (link)

Карта топологии в первом приближении (link)

Карта маломерной (геометрической) топологии (link)

Карта простейших типов математических пространств (link)

Карта типов отображений в геометрии и топологии (link)

Карта простейших алгебраических структур (link)

Окружность без точки гомеоморфна прямой

Рогатая сфера Александера — вложение обычной сферы S^2 в R^3, внешняя часть которого не гомеоморфна внешней части стандартного вложения этой сферы