Расслоения со слоем S^1 и дифференциальные формы 1

00:00 Почему даже школьник сможет понять этот курс
02:12 Интуиция за локально тривиальными расслоениями (ЛТР)
08:39 Определение ЛТР
10:53 Примеры расслоений, не являющихся ЛТР
17:25 Тривиальное S^1-расслоение над сферой
18:43 Расслоение касательных единичных векторов на сфере
20:38 Нетривиальность расслоения касательных векторов на сфере и теорема о причёсывании ежа
24:24 Расслоение Хопфа (комплексная проективная прямая)
32:55 Расслоение Хопфа снова (замощение S^3 окружностями)
46:15 Почему эти расслоения неэквивалентны?
47:10 Фундаментальная группа, примеры вычисления
54:20 Пространство T_1(S^2) касательных единичных векторов на сфере S^2 гомеоморфно группе SO(3) поворотов трёхмерного евклидова пространства
56:27 Угадывание фундаментальной группы пространства SO(3)
58:51 Вычисление фундаментальной группы пространства SO(3) с помощью теории накрытий [двулистное накрытие из S^3 в SO(3)]
1:00:35 Пространство SO(3) гомеоморфно вещественному проективному пространству PR^3

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный. (источник)

(источник)

Расслоения со слоем S^1 и дифференциальные формы 2

00:00 Локальные тривиализации
01:32 Отображения перехода как диффеоморфизмы/гомеоморфизмы окружности
02:45 Сведение общего случая к случаю, при котором отображения перехода являются поворотами
04:55 Что такое теория препятствий
05:40 Тривиальность S^1-расслоения эквивалентна существованию глобального сечения
07:05 Инвариант Эйлера S^1-расслоения над поверхностью как препятствие к построению глобального сечения (определение класса Эйлера)
15:50 Корректность определения (доказательства)
18:00 Построение сечения, заданного на дополнении конечного числа точек
19:53 Продолжение S^1-расслоения до векторного расслоения ранга два (расслоения со слоем плоскость, комплексного векторного расслоения ранга один)
22:17 Построение сечения S^1-расслоения с помощью выбора сечения векторного расслоения
23:50 Инвариант Эйлера как сумма индексов особых точек — чисел оборотов сечения при их обходе
26:59 Вычисление класса Эйлера расслоения Хопфа
40:37 Вычисление класса Эйлера расслоений касательных единичных векторов над поверхностями
47:29 Теорема Пуанкаре—Хопфа о том, что сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности равна эйлеровой характеристике
48:53 Классификация S^1-расслоений над ориентируемыми поверхностями
1:02:40 Введение в дифф. формы и теорию Черна—Вейля
1:04:07 Интегрирование дифф. 1-форм на многообразиях

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный. (источник)

(источник)

Расслоения со слоем S^1 и дифференциальные формы 3

00:00 Введение в дифференциальные формы
02:48 Векторные поля
04:39 1-формы как ковекторные поля
07:18 k-формы
08:39 Внешнее умножение
10:51 Пространство дифференциальных форм, дифференцирование, комплекс де Рама
16:35 Поведение дифференциальных форм при замене координат
21:16 В чём главное предназначение дифференциальных форм
22:38 Контравариантная функториальность
27:09 Интегрирование дифференциальных форм
35:00 Дифференциальные формы как функции на наборах касательных векторов. Пример: 2-форма площади на сфере S^2 и интеграл от неё
44:35 Связность в S^1-расслоении как поле касательных гиперплоскостей в тотальном пространстве
48:00 Задание связности 1-формами в тривиализующих окрестностях базы S^1-расслоения
53:38 Что "связывает" связность: параллельный перенос слоёв вдоль кривой
56:18 Зависимость параллельного переноса от выбора кривой
1:00:37 Формула Стокса для дифференциальных форм (основная теорема теории интегрирования)
1:03:59 2-форма кривизны связности (дифференциал 1-формы связности). Независимость от тривиализации
1:06:09 Класс Эйлера S^1-расслоения над (замкнутой ориентируемой) поверхностью как интеграл 2-формы кривизны (обобщение формулы Гаусса—Бонне)
1:10:47 Пример: вычисление класса Эйлера расслоения Хопфа с помощью связности

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный. (источник)

(источник)

Расслоения со слоем S^1 и дифференциальные формы 4

00:00 Класс Эйлера в терминах связности
05:36 Эрмитова форма на C^2
08:29 Каноническая форма связности в расслоении Хопфа
19:48 Вычисление формы кривизны, её вещественность
24:37 Вычисление класса Эйлера расслоения Хопфа с помощью связности
28:23 Анонс доказательства формулы для класса Эйлера S^1-расслоения над (замкнутой ориентируемой) поверхностью в терминах кривизны
29:07 Разность любых двух связностей является (глобально заданной) 1-формой в базе, т. е. не зависит от выбора тривиализующих окрестностей. Пространство связностей как аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством 1-форм
32:27 Интеграл кривизны не зависит от выбора связности
36:15 Локализация особенностей и построение 1-формы связности вне особенностей
46:21 Доопределение связности в особых точках
53:08 Вычисление кривизны построенной связности
56:45 Введение в алгебраическую топологию
59:07 Гомотопность и гомотопическая эквивалентность, примеры
1:02:48 Как классифицировать S^1-расслоения с данной базой
1:05:04 Классифицирующее S^1-расслоение из S^∞ в CP^∞ и его универсальное свойство
1:09:01 Группы гомологий, когомологий и гомотопические группы
1:11:27 Пространства Эйленберг—Маклейна как классифицирующие пространства для групп когомологий. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный. (источник)

(источник)