Формула Эйлера и двойственность Пуанкаре

01:14 Введение в теорию графов
02:35 Конструкция двойственного графа
05:07 Самое интересное
07:13 Эйлерова характеристика сферы равна 2: доказательство

(источник)

Векторные поля на поверхностях

00:00 Зачем и кому нужны векторные поля
17:31 Траектории векторных полей
21:00 Фундаментальные задачи векторного анализа
24:50 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
28:17 Отображение эволюции (отображение фазового потока)
32:13 Степень непрерывного отображения между окружностями
38:10 Число оборотов векторного поля вдоль кривой
49:48 Лемма об сохранении числа оборотов при гомотопии кривой
54:16 Приложение: теорема Брауэра о неподвижной точке
58:00 Приложение: основная теорема алгебры
01:08:56 Индекс изолированного нуля
01:12:40 Векторные поля в трёхмерном пространстве
01:14:19 Степень непрерывного отображения между двумерными сферами
01:19:31 Это и есть наглядная топология
01:21:28 Векторные поля в электродинамике
01:28:29 Диполи, квадруполи, гексаполи, октуполи
01:36:01 Свойство аддитивности чисел оборотов
01:49:59 Векторные поля, заданные полигональным разбиением (триангуляцией) поверхности
01:47:52 Формула Эйлера—Пуанкаре (эйлерова характеристика)
01:52:48 Векторные поля на трёхмерных многообразиях
01:55:42 Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом
02:01:05 Теория Морса, гладкая и дискретная
02:02:49 Гомотопия, сокращающая два нуля противоположных индексов
02:04:11 Градиент как направление наискорейшего роста функции
02:09:32 Географическая версия формулы Эйлера—Пуанкаре

02:12:18 Напоминание
02:24:11 Теорема Эйлера—Пуанкаре—Хопфа
02:33:33 Доказательство
02:56:38 Векторные поля как сечения касательного расслоения
03:04:18 Расслоения со слоем окружность их числа Эйлера-Черна
03:23:05 Теорема о причёсывании ежа
03:34:05 Ротор и дивергенция
03:57:47 Симулятор векторных полей (ссылка)
04:00:28 Линейные векторные поля
04:16:18 Экспонента как эволюция линейного поля
04:24:18 Градиентные векторные поля
04:38:07 Точные (потенциальные) и коточные векторные поля
04:39:08 Замкнутые (безвихревые) и козамкнутые (бездивергентные) векторные поля
04:42:59 Разложение Гельмгольца—Ходжа—де Рама
04:57:49 Гармонические векторные поля и теорема де Рама

Также доступен подробный конспект (источник)

Наглядная теория гомологий

01:50 Симплициальные и клеточные комплексы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи

00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера-Вьеториса

00:00 Панорамный вид
10:00 Геометрический смысл последовательности Майера-Вьеториса
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)

(источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады

01:00 Формулировка
02:00 Двумерный аналог
03:04 Вероятность попадания на дугу
04:29 Перенос в 3D
05:24 Интегрирование
07:38 Изящное решение
08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра

(источник)

Три уровня понимания формулы Байеса

0:00 Думай медленно, решай быстро
4:09 Формулировка
10:13 Интуитивное понимание
13:35 Распространённая ошибка

(источник)

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса

00:19 Симметричность
01:15 Приложения
01:45 Распространенное заблуждение
02:38 Независимость событий
02:55 Геймифицированные примеры

(источник)

Что лучше: когда у продавца более высокий рейтинг или больше отзывов?

00:28 Интуитивное объяснение
01:39 Правило наследования Лапласа
03:00 Основная модель
06:21 Биномиальное распределение
09:04 График вероятности
10:56 Вероятность успеха
11:36 Максимизация вероятности

(источник)

Почему "вероятность 0" не означает "невозможно"

00:41 Парадокс
02:24 Практическое использование
04:20 Плотность вероятностей
05:02 Функция плотности
06:02 Теория меры
09:12 Заключение

(источник)

Проективная геометрия: всё становится понятнее

01:30 Введение в алгебраическую геометрию
02:30 Проективная геометрия и точки на бесконечности
06:15 Гармонические четвёрки
09:06 Проективизация: введение
11:41 Соответствие между точками и прямыми
13:30 Однородные координаты на плоскости
15:14 Проективизация: определение
18:44 Теорема Безу
20:25 Приложения

(источник)

Как запомнить все факты о квадриках на плоскости: ссылка