Как самостоятельно изучать математику: пошаговое руководство

0:36 Линейная алгебра
2:20 Вещественный анализ
3:19 Топология
4:09 Комплексный анализ
5:46 Теория групп
6:54 Теория Галуа
7:23 Дифференциальная геометрия
8:44 Алгебраическая топология

(источник)

Жизнь на торе по версии фильма «‎Форма пространства»‎

00:00 Квадратная развёртка тора
00:58 Что мы увидим изнутри

Лента Мёбиуса в задаче о вписанном прямоугольнике

01:28 Гипотеза о вписанном квадрате
02:10 Аналог задачи в случае прямоугольника
03:40 Конструкция графика
05:59 Пары точек на окружности
07:00 Пространство пар точек на окружности
10:50 Факторпространство неупорядоченных пар
12:15 Появление ленты Мёбиуса
14:00 Отображение ленты Мёбиуса
15:00 Доказательство существования прямоугольника

(источник)

Формула Эйлера должна быть неравенством

00:00 Графы на поверхностях
01:55 Триангуляции
02:52 Графы на плоскости
04:39 Графы на торе
10:55 Интуитивное доказательство неравенства Эйлера
12:24 Эйлерова характеристика поверхностей

(источник)

Теорема о причёсывании ежа

00:07 Контрпример
00:35 Формулировка

Подробнее в мини-курсе «Векторные поля на поверхностях»

Что такое алгебраическая топология

0:33 Обзор
1:13 Формализация дыр
2:15 Симплициальные комплексы
4:20 Пример: окружность
5:44 Первая группа (симплициальных) гомологий
06:15 Пример: тор
8:05 Общее определение
9:35 Вторая группа (симплициальных) гомологий
10:23 Инвариантность
11:13 Сингулярные гомологии
13:12 Числа Бетти

(источник)

Теорема Брауэра о неподвижной точке

00:00 Эксперимент с картой
00:21 Формулировка теоремы (источник)
00:29 Контрпримеры (источник)
00:46 Цветная визуализация
01:17 Одномерная версия и её доказательство
02:17 Идея доказательства в 2D
03:54 Теорема Борсука-Улама
04:32 Доказательство

Подробнее в докладе

Доказательство теоремы Брауэра через лемму о барабане

00:00 Введение
00:58 Концептуальное значение теоремы Брауэра
01:53 Примеры и контрпримеры
03:40 Обобщения
07:50 Иллюстрации
13:20 Понятие ретракции
14:15 Теорема о барабане
16:07 Эквивалентность теореме Брауэра
19:17 Приложения
24:30 Доказательство теоремы о барабане
39:23 Обобщённая теорема о барабане
41:31 Полная версия теоремы Брауэра и её история
45:35 Доказательство (индукция по размерности)
47:15 Игра Гекс и теорема об отсутствии ничьих

Также доступен подробный конспект (источник)

Доказательство теоремы Брауэра через лемму Шпернера

00:23 Шпернеровские раскраски триангуляций
01:13 Важное наблюдение
01:48 Лемма Шпернера: найдётся разноцветный треугольник
02:23 Доказательство
04:29 Итоги и обобщения
04:42 Вывод теоремы Брауэра из леммы Шпернера
05:08 Двумерный симплекс (треугольник)
05:35 От отображения к раскраске точек треугольника
06:24 Применение леммы Шпернера
07:49 Применение теоремы Больцано-Вейерштрасса
08:28 Сведение воедино

(источник)

Гомеоморфизмы поверхностей

Нужно представлять себе, что у нас есть две копии нашей поверхности. Одна копия сделана из чего-то твёрдого (манекен), а другая — из резины или ткани (куртка), т.е. её можно растягивать, скручивать и сжимать.

Также правильно представлять себе, что на этой поверхности есть опоясывающие молнии с застёжками-собачками. (Такие молнии расстёгиваются и застёгиваются однозначно — чтобы обеспечить непрерывность.)

Гомеоморфизм — это правило, по которому мы берём нашу гибкую поверхность, расстёгиваем застёжки, взаимно-однозначно надеваем поверхность на манекен и застёгиваем молнии обратно.

(источник)