Forwarded from Студенческий семинар по маломерной топологии
[Группы классов отображений и] пространства Тейхмюллера
В центре внимания курса — поверхность рода g (=сфера с g ручками). С ней связана замечательная тройка, которую мы собираемся изучать, сделав акцент на первых двух объектах:
▪️Группа классов отображений (=модулярная группа),
▪️Пространство Тейхмюллера,
▪️Пространство модулей алгебраических кривых.
В простых словах, о чем этот курс? Если у (обычного плоского) квадрата склеить противолежащие стороны, то получится тор с плоской метрикой, то есть каждый достаточно малый участок тора будет устроен как кусочек евклидовой плоскости. Если квадрат заменить на прямоугольник или параллелограмм, аналогичная склейка тоже даст тор с плоской метрикой, но про него разумно сказать — это другой тор, не изометричный первому. Здесь история о поверхностях с плоской метрикой заканчивается, так как никакую другую поверхность (с плоской метрикой) кроме этих торов из куска евклидовой плоскости склеить нельзя. Поэтому мы евклидову плоскость заменим на плоскость Лобачевского (с ней больше свободы!) и определим пространство Тейхмюллера как пространство, элементы которого суть все возможные способы склеить поверхность рода g из гиперболической развертки, то есть, из некоторого куска гиперболической плоскости.
Материалы
▪️ Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
Программа
1. Необходимые сведения из геометрии Лобачевского «для пользователей». Плоскость Лобачевского как универсальное накрытие поверхности.
2. Диффеоморфизмы поверхности, модулярная группа. Ее образующие — скручивания Дена: режем, скручиваем, клеим.
3. Склейки гиперболических многоугольников. Пространство Тейхмюллера. Разрезание поверхности на штаны. Штаны дадут нам координаты Фенхеля — Нильсена на пространстве Тейхмюллера.
4. Пространство Тейхмюллера поверхности с проколами. В присутствии гиперболической метрики проколы превращаются в рога, уходящие на бесконечность, и значит, дают штаны бесконечной длины. Декорированное пространство Тейхмюллера. Лямбда-длины Пеннера.
Литература
▪️M. Clay, D. Margalit, eds. Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press, 2017.
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
Пререквизиты
Необходимо знакомство с понятием «группа», «действие группы», «комплексные числа». Приветствуется знакомство с плоскостью Лобачевского и с понятием универсального накрытия.
Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка
В центре внимания курса — поверхность рода g (=сфера с g ручками). С ней связана замечательная тройка, которую мы собираемся изучать, сделав акцент на первых двух объектах:
▪️Группа классов отображений (=модулярная группа),
▪️Пространство Тейхмюллера,
▪️Пространство модулей алгебраических кривых.
В простых словах, о чем этот курс? Если у (обычного плоского) квадрата склеить противолежащие стороны, то получится тор с плоской метрикой, то есть каждый достаточно малый участок тора будет устроен как кусочек евклидовой плоскости. Если квадрат заменить на прямоугольник или параллелограмм, аналогичная склейка тоже даст тор с плоской метрикой, но про него разумно сказать — это другой тор, не изометричный первому. Здесь история о поверхностях с плоской метрикой заканчивается, так как никакую другую поверхность (с плоской метрикой) кроме этих торов из куска евклидовой плоскости склеить нельзя. Поэтому мы евклидову плоскость заменим на плоскость Лобачевского (с ней больше свободы!) и определим пространство Тейхмюллера как пространство, элементы которого суть все возможные способы склеить поверхность рода g из гиперболической развертки, то есть, из некоторого куска гиперболической плоскости.
Материалы
▪️ Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
Программа
1. Необходимые сведения из геометрии Лобачевского «для пользователей». Плоскость Лобачевского как универсальное накрытие поверхности.
2. Диффеоморфизмы поверхности, модулярная группа. Ее образующие — скручивания Дена: режем, скручиваем, клеим.
3. Склейки гиперболических многоугольников. Пространство Тейхмюллера. Разрезание поверхности на штаны. Штаны дадут нам координаты Фенхеля — Нильсена на пространстве Тейхмюллера.
4. Пространство Тейхмюллера поверхности с проколами. В присутствии гиперболической метрики проколы превращаются в рога, уходящие на бесконечность, и значит, дают штаны бесконечной длины. Декорированное пространство Тейхмюллера. Лямбда-длины Пеннера.
Литература
▪️M. Clay, D. Margalit, eds. Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press, 2017.
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
Пререквизиты
Необходимо знакомство с понятием «группа», «действие группы», «комплексные числа». Приветствуется знакомство с плоскостью Лобачевского и с понятием универсального накрытия.
Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка
YouTube
Пространства Тейхмюллера [1] // Гаянэ Панина
В центре внимания курса — поверхность рода g (т.е. сфера с g ручками). С ней связана замечательная тройка, которую мы собираемся изучать, сделав акцент на первых двух объектах:
1. Группа классов отображений (т.е. модулярная группа поверхности),
2. Пространство…
1. Группа классов отображений (т.е. модулярная группа поверхности),
2. Пространство…
❤2
Forwarded from Лаунч Контроль Центр (Launch Control Center)
Необходимо знать, если вы интересуетесь геометрией: https://telegra.ph/exercises-in-imagining-08-06
Telegraph
Как развить воображение
Как вы представляете геометрические фигуры в своей голове? Большинство людей говорят о своем воображении как о «визуализации», но это не совсем правильно. Изображение, которое вы формируете в своей голове, является более концептуальным, чем плоская картинка…
Math Atlas 103 pinned «Добро пожаловать в канал, направленный на обогащение курса геометрии и топологии МКН СПбГУ, начавшегося в 2023, дополнительными материалами: картинками, анимациями, лекциями и литературой. Страница курса в Notion: ссылка. Полезные ссылки: • Каталог видеокурсов…»
Перед вами некоторые расположения (не всегда вложения) поверхностей в трехмерном пространстве. На них также иногда обозначены телепорты — окружности, снабженные буквами и стрелочками, указывающими на способ склейки.
Попробуйте посчитать эйлерову характеристику каждой их этих поверхностей.
Лвл 1: Возвращение в замок Лип
Попробуйте посчитать эйлерову характеристику каждой их этих поверхностей.
Лвл 1: Возвращение в замок Лип
❤3🥱1
Завтра, 9 марта (суббота), c 13 40 до 15 40 в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится четвёртое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!
В прошлый раз мы доказали теорему Жордана (любая простая замкнутая кривая делит плоскость ровно на две компоненты и является их общей границей) и подробно обсудили строение трёхмерной сферы. В этот раз мы начнём независимую тему — докажем теорему Брауэра о неподвижной точке (любое непрерывное отображение диска в себя имеет неподвижную точку) и обсудим связанные с ней сюжеты.
Приглашаются все желающие!
UPD: видеозапись
В прошлый раз мы доказали теорему Жордана (любая простая замкнутая кривая делит плоскость ровно на две компоненты и является их общей границей) и подробно обсудили строение трёхмерной сферы. В этот раз мы начнём независимую тему — докажем теорему Брауэра о неподвижной точке (любое непрерывное отображение диска в себя имеет неподвижную точку) и обсудим связанные с ней сюжеты.
Приглашаются все желающие!
UPD: видеозапись
YouTube
Лекция 2 | Теорема Жордана — Шёнфлиса | Илья Алексеев
Третье занятие «Кружка по геометрии и топологии»
00:00 План доказательства
03:05 Вывод желаемого из связности дополнения простой кривой
12:45 Вывод связности дополнения простой кривой из замкнутости множества S
17:33 Техническая подготовка
25:09 Анализ красной…
00:00 План доказательства
03:05 Вывод желаемого из связности дополнения простой кривой
12:45 Вывод связности дополнения простой кривой из замкнутости множества S
17:33 Техническая подготовка
25:09 Анализ красной…
❤5
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
На квадрате расчерчена сетка 5x5. На каждом стоп кадре анимации изображено непрерывное (и даже аффинное) отображение этого квадрата в себя. Из теоремы Брауэра о неподвижной точке следует, что имеется хотя бы один квадратик, пересекающий свой образ.
На анимации такое пересечение подсвечивается ярким белым цветом.
На анимации такое пересечение подсвечивается ярким белым цветом.
❤1
Возьмём два листа бумаги одинакового размера с нанесенными на них системами координат. Положим один лист на стол, а другой помнём (не разрывая) и положим любым способом поверх первого, не выходя за его пределы. Теорема Брауэра гласит, что найдется хотя бы одна точка скомканного листа, которая лежит непосредственно над соответствующей ей точкой (то есть точкой с теми же координатами) плоского листа.
❤1
Forwarded from Студенческий семинар по маломерной топологии
YouTube
Азбука портальных хирургий
Третье занятие «Кружка по геометрии и топологии»
В этом ролике мы расскажем некоторые основы восприятия трехмерных многообразий с помощью концепции портальных хирургий.
00:00 Простейшие трехмерные многообразия – шар, полноторий, тела с ручками
05:55 Утолщенная…
В этом ролике мы расскажем некоторые основы восприятия трехмерных многообразий с помощью концепции портальных хирургий.
00:00 Простейшие трехмерные многообразия – шар, полноторий, тела с ручками
05:55 Утолщенная…
🔥4
>К сведению, многие люди действительно используют яркие внутренние аналогии, которые у них есть, когда разговаривают со студентами. Один из моих любимых примеров из бакалавриата — описание линейного преобразования как главнокомандующего, который говорит генералам (базису), куда идти, а те, в свою очередь, говорят всем солдатам (остальные векторы), куда идти. Субординация в действии в классе линейной алгебры. (источник)
MathOverflow
Thinking and Explaining
How big a gap is there between how you think about mathematics and what you say to others? Do you say what you're thinking? Please give either personal examples of how your thoughts and words diff...
🫡5