Суть теории гомологий 4: одушевление когомологий
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
(источник)
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
👍6
Введение в теорию Галуа
00:00 Расширения полей
03:22 Группы Галуа
08:20 Неразрешимость уравнений пятой степени и выше
(источник)
00:00 Расширения полей
03:22 Группы Галуа
08:20 Неразрешимость уравнений пятой степени и выше
(источник)
YouTube
The Insolvability of the Quintic
This video is an introduction to Galois Theory, which spells out a beautiful connection between fields and their Galois Groups. Using this, we'll prove that the quintic has no general formula in radicals.
__
SOURCES and REFERENCES for further reading!
As…
__
SOURCES and REFERENCES for further reading!
As…
🔥6🤔3❤2❤🔥2
Владеете ли вы английским в достаточной мере, чтобы слушать математические лекции?
Anonymous Poll
18%
Я совсем не могу слушать лекции на английском (и не слушаю)
9%
Я совсем не могу слушать лекции на английском (но слушаю их, используя переводчик видео)
20%
Я могу слушать лекции на английском, но только с русскими субтитрами
34%
Я могу слушать лекции на английском с английскими субтитрами
50%
Я могу слушать лекции на английском без субтитров
Основная теорема теории Галуа
00:00 Геометрический взгляд
06:04 Поля и их автоморфизмы
08:55 Примеры
16:34 Теория групп
18:25 Основная теорема
(источник)
00:00 Геометрический взгляд
06:04 Поля и их автоморфизмы
08:55 Примеры
16:34 Теория групп
18:25 Основная теорема
(источник)
YouTube
What is the square root of two? | The Fundamental Theorem of Galois Theory
This video is an introduction to Galois Theory, which spells out a beautiful correspondence between fields and their symmetry groups.
__
SOURCES and REFERENCES for Further Reading!
This video is a quick-and-dirty introduction to Galois theory. But as…
__
SOURCES and REFERENCES for Further Reading!
This video is a quick-and-dirty introduction to Galois theory. But as…
❤8🔥2
Какое уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах
00:00 Теорема Абеля—Руффини
04:38 Группы Галуа
11:15 Круговые расширения и расширения Куммера
19:43 Башни расширений
27:25 Разрешимость в радикалах vs теория групп
35:23 Что произошло интуитивно
(источник)
00:00 Теорема Абеля—Руффини
04:38 Группы Галуа
11:15 Круговые расширения и расширения Куммера
19:43 Башни расширений
27:25 Разрешимость в радикалах vs теория групп
35:23 Что произошло интуитивно
(источник)
YouTube
Why you can't solve quintic equations (Galois theory approach) #SoME2
An entry to #SoME2. It is a famous theorem (called Abel-Ruffini theorem) that there is no quintic formula, or quintic equations are not solvable; but very likely you are not told the exact reason why. Here is how traditionally we knew that such a formula…
🔥3💅3
Введение в алгебраическую теорию чисел
00:00 Числовые кольца
04:46 Идеалы
08:55 Гауссовы (факториальные) кольца
11:41 Группа классов идеалов
14:53 Теория Ивасавы
(источник)
00:00 Числовые кольца
04:46 Идеалы
08:55 Гауссовы (факториальные) кольца
11:41 Группа классов идеалов
14:53 Теория Ивасавы
(источник)
YouTube
Algebraic number theory - an illustrated guide | Is 5 a prime number?
This video is an introduction to Algebraic Number Theory, and a subfield of it called Iwasawa Theory. It describes how prime numbers factor in infinite towers of number rings.
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable…
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable…
❤5🔥2
Введение в теорию модулярных форм
00:00 Эллиптические кривые
03:26 Модулярные формы
07:26 Гипотеза Таниямы-Шимуры
08:02 Великая теорема Ферма
(источник)
00:00 Эллиптические кривые
03:26 Модулярные формы
07:26 Гипотеза Таниямы-Шимуры
08:02 Великая теорема Ферма
(источник)
YouTube
Elliptic Curves and Modular Forms | The Proof of Fermat’s Last Theorem
Elliptic curves, modular forms, and the Taniyama-Shimura Conjecture: the three ingredients to Andrew Wiles’ proof of Fermat’s Last Theorem.
This is by far the hardest video I've ever had to make: both in terms of learning the content and explaining it. So…
This is by far the hardest video I've ever had to make: both in terms of learning the content and explaining it. So…
👍6🔥2
Forwarded from Math Atlas 102
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Введение в алгебраическую геометрию
00:00 Мост между алгеброй и геометрией
03:04 Зачем изучать координатные кольца
03:54 Как алгебра детектирует приводимость и сингулярность
05:15 Интуитивные рассуждения
06:00 Зачем может пригодиться матанализ
07:59 Как самостоятельно придумать схемы
(источник + перевод)
00:00 Мост между алгеброй и геометрией
03:04 Зачем изучать координатные кольца
03:54 Как алгебра детектирует приводимость и сингулярность
05:15 Интуитивные рассуждения
06:00 Зачем может пригодиться матанализ
07:59 Как самостоятельно придумать схемы
(источник + перевод)
🥰5🔥3
Audio
Счастливая карьера в математике
00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам
(источник + перевод) @geomtop24
00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам
(источник + перевод) @geomtop24
👍5❤3🔥1
Мостик между теорией чисел и комплексным анализом
00:00 Тождество Рамануджана
02:04 Исследования Эйхлера и Шимуры
03:21 От решёток к теории чисел
05:00 Подсчёт числа решений mod p
06:39 Связь с гипотезой-теоремой Таниямы—Шимуры
(источник)
00:00 Тождество Рамануджана
02:04 Исследования Эйхлера и Шимуры
03:21 От решёток к теории чисел
05:00 Подсчёт числа решений mod p
06:39 Связь с гипотезой-теоремой Таниямы—Шимуры
(источник)
YouTube
The bridge between number theory and complex analysis
How the discoveries of Ramanujan in 1916, combined with the insights of Eichler and Shimura in the 50's, led to the proof of Fermat's Last Theorem.
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable form of support is to simply…
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable form of support is to simply…
🔥5
Тождество Рамануджана, с которого всё началось, демонстрирует удивительную связь между:
Anonymous Poll
55%
Простые числа vs дзета-функция Римана
55%
«Сколько есть способов представить число в виде суммы 24 квадратов» vs коэффициенты модулярных форм
10%
Гипотеза Римана vs теория решёток
3%
Интегралы vs числовые ряды Фурье
Audio
Как стать худшим исследователем в мире
0:00 Заявление об инклюзивности
1:24 Как построить абьюзивные отношения с исследованиями
3:00 Как страдать от занятий математикой
5:10 Как быть непродуктивным
7:01 Как сравнивать себя с другими
8:38 Как чувствовать себя хуже от утешений
(источник + перевод) @geomtop24
0:00 Заявление об инклюзивности
1:24 Как построить абьюзивные отношения с исследованиями
3:00 Как страдать от занятий математикой
5:10 Как быть непродуктивным
7:01 Как сравнивать себя с другими
8:38 Как чувствовать себя хуже от утешений
(источник + перевод) @geomtop24
❤10🗿3
Введение в комплексную геометрию
00:00 Особенности и мероморфные отображения
04:35 Как сфера Римана облегчает мышление
06:49 Что такое комплексные торы (эллиптические кривые)
08:35 Пример:
11:09 Зачем нужны римановы поверхности
11:52 Теорема Кодайры: как связать комплан и алгем
(источник)
00:00 Особенности и мероморфные отображения
04:35 Как сфера Римана облегчает мышление
06:49 Что такое комплексные торы (эллиптические кривые)
08:35 Пример:
y^2 = 4x^3 + 4x11:09 Зачем нужны римановы поверхности
11:52 Теорема Кодайры: как связать комплан и алгем
(источник)
YouTube
The shocking connection between complex numbers and geometry.
A peek into the world of Riemann surfaces, and how complex analysis is algebra in disguise. Secure your privacy with Surfshark! Enter coupon code ALEPH for an extra 3 months free at https://surfshark.deals/ALEPH.
Help fund future projects: https://www.p…
Help fund future projects: https://www.p…
🔥4
Что гласит основная теорема, связывающая комплексный анализ и алгебраическую геометрию?
Anonymous Poll
30%
Любая алгебраическая кривая является комплексной поверхностью
60%
Любая компактная риманова поверхность голоморфно вкладывается в комплексное проективное пространство
8%
Род алгебраической кривой всегда не больше единицы
20%
Любая односвязная область на сфере Римана биголоморфна единичному диску
15%
Комплексный анализ возможен только на алгебраических многообразиях
Audio
Чем интересны математические исследования
0:00 В чём истинный смысл работы математика
0:53 Как найти задачу для исследования
4:46 Как начать работу над проектом/задачей
7:10 Что делать, если я застрял: приёмы и методы
9:49 В чём польза возврата к старому материалу
(источник + перевод) @geomtop24
0:00 В чём истинный смысл работы математика
0:53 Как найти задачу для исследования
4:46 Как начать работу над проектом/задачей
7:10 Что делать, если я застрял: приёмы и методы
9:49 В чём польза возврата к старому материалу
(источник + перевод) @geomtop24
👍6❤2
Forwarded from Math Atlas 102
Что такое свёртка?
00:00 Решение дифференциальных уравнений и умножение многочленов
02:07 Сложение случайных величин
07:25 Скользящее среднее
08:32 Обработка изображений
13:42 Оценка скорости работы волшебного алгоритма
14:40 Быстрое умножение многочленов
18:10 Буст: быстрое преобразование Фурье (FFT)
(источник)
00:00 Решение дифференциальных уравнений и умножение многочленов
02:07 Сложение случайных величин
07:25 Скользящее среднее
08:32 Обработка изображений
13:42 Оценка скорости работы волшебного алгоритма
14:40 Быстрое умножение многочленов
18:10 Буст: быстрое преобразование Фурье (FFT)
(источник)
YouTube
But what is a convolution?
Discrete convolutions, from probability to image processing and FFTs.
Video on the continuous case: https://youtu.be/IaSGqQa5O-M
Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown
Special thanks to these supporters: https://3b1b.co/lessons/co…
Video on the continuous case: https://youtu.be/IaSGqQa5O-M
Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown
Special thanks to these supporters: https://3b1b.co/lessons/co…
Преобразование Фурье — это, по своей сути:
Anonymous Poll
19%
Метод шифрования секретных сообщений
36%
Инструмент для решения дифференциальных уравнений
26%
Один из вариантов интегрирования
74%
Аппарат для перевода сигнала из временной области в частотную
14%
Способ найти корни многочлена
👍4
Как работает быстрое преобразование Фурье
00:00 Роль FFT в ядерной гонке
03:56 Как отличить испытание ядерки от землетрясения
07:32 Преобразование Фурье (FT)
10:28 Дискретное преобразование Фурье (DFT)
14:37 Быстрое преобразование Фурье (FFT)
(источник)
00:00 Роль FFT в ядерной гонке
03:56 Как отличить испытание ядерки от землетрясения
07:32 Преобразование Фурье (FT)
10:28 Дискретное преобразование Фурье (DFT)
14:37 Быстрое преобразование Фурье (FFT)
(источник)
YouTube
Самый важный алгоритм в истории [Veritasium]
Если вы в России: https://boosty.to/vertdider
Если вы не в России: https://www.patreon.com/VertDider
Учёные открыли быстрое преобразование Фурье, всего на пару лет опоздав к запрету испытаний ядерного оружия. Если бы они успели, запрет был бы строже и в…
Если вы не в России: https://www.patreon.com/VertDider
Учёные открыли быстрое преобразование Фурье, всего на пару лет опоздав к запрету испытаний ядерного оружия. Если бы они успели, запрет был бы строже и в…
😁6
Forwarded from Математика как практика
По сути, когда берешь книгу по математике, у тебя всегда сидит в голове какая-то мысль. Возможно, мы хотим разобраться в понятии, которое только что где-то увидели, узнать, верно ли конкретное утверждение, или понять, как его доказать. Реально нам нужно, может быть, Определение 7.4 со страницы 138, Теорема 11.5 со страницы 227 или всего лишь один конкретный момент из ее доказательства.
Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.
Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично и, чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает
#толерантностькнеопределённости
Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.
Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично и, чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает
#толерантностькнеопределённости
👍4❤🔥3❤1