Суть теории гомологий 1: циклы и границы

01:50 Симплициальные и клеточные комплéксы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.

(источник)

Суть теории гомологий 2: наглядные вычисления

00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера—Вьеториса

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.

(источник)

Суть теории гомологий 3: когомологии

00:00 Панорамный вид
10:00 Последовательность Майера—Вьеториса интуитивно
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.

(источник)

Суть теории гомологий 4: одушевление когомологий

00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.

(источник)

Разложение Гельмгольца—Ходжа—де Рама (источник)

Введение в теорию Галуа

00:00 Расширения полей
03:22 Группы Галуа
08:20 Неразрешимость уравнений пятой степени и выше

(источник)

Основная теорема теории Галуа

00:00 Геометрический взгляд
06:04 Поля и их автоморфизмы
08:55 Примеры
16:34 Теория групп
18:25 Основная теорема

(источник)

Какое уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах

00:00 Теорема Абеля—Руффини
04:38 Группы Галуа
11:15 Круговые расширения и расширения Куммера
19:43 Башни расширений
27:25 Разрешимость в радикалах vs теория групп
35:23 Что произошло интуитивно

(источник)