Суть динамики 5: бильярды
00:00 Геодезические на поверхностях
06:28 Теорема Адамара о наличии периодических траекторий
08:23 Связь с арифметикой
(источник + конспект)
00:00 Геодезические на поверхностях
06:28 Теорема Адамара о наличии периодических траекторий
08:23 Связь с арифметикой
(источник + конспект)
YouTube
Хаос 5. Бильярды. Бык Дюэма
Чтобы подобраться к такому трудному вопросу, как движение небесных тел, можно сначала изучить более простые вопросы. Если движение шарика, катящегося без трения по чаше, кажется не столь трудным для понимания, то для чаши с несколькими выпуклостями это уже…
Суть динамики 6: подкова Смейла
00:00 Отображение Пуанкаре первого возвращения
04:03 Деформация квадрата в подкову
06:03 Динамика подковы
09:05 Структурная устойчивость
(источник + конспект)
00:00 Отображение Пуанкаре первого возвращения
04:03 Деформация квадрата в подкову
06:03 Динамика подковы
09:05 Структурная устойчивость
(источник + конспект)
YouTube
Хаос 6. Хаос и подкова. Смейл в Копакабане
Начнём со старой идеи Анри Пуанкаре (1854-1912): изучая векторное поле в пространстве, иногда мы можем найти маленький диск, который траектории время от времени пересекают. Изучать точки на диске, в которых траектории его пересекают, зачастую много проще…
Суть динамики 7: аттрактор Лоренца
00:00 Предсказания погоды и модель Лоренца
04:00 Эффект бабочки
06:06 Трактор Лоренца
08:17 Модель Бермана—Гукенхаймера—Уильямса
(источник + конспект)
00:00 Предсказания погоды и модель Лоренца
04:00 Эффект бабочки
06:06 Трактор Лоренца
08:17 Модель Бермана—Гукенхаймера—Уильямса
(источник + конспект)
YouTube
Хаос 7. Странные аттракторы. Эффект Бабочки
В 1963 Эдвард Лоренц (1917—2008), который интересовался проблемой конвекции в земной атмосфере, смог значительно упростить гидродинамические уравнения Навье-Стокса, знаменитые своей колоссальной сложностью. Атмосферную модель Лоренца физики называют игрушечной…
❤5
Forwarded from Solamente
Три заблуждения
Чтобы услышать, что нам пытаются сказать Эйнштейн и Декарт, сначала нужно избавиться от трех стереотипов о математике:
1. Чтобы заниматься математикой, надо мыслить логически.
2. Некоторые из нас от природы в ладах с числами, а некоторые от природы наделены хорошей геометрической интуицией — мол увы, подавляющее большинство не понимает в математике ровным счетом ничего, и с этим надо смириться.
3. Великие математики родились с иной структурой мозга, чем у нас.
По первому стереотипу скажем сразу: нет, математики не мыслят логически. И никто не мыслит логически. Более того, мыслить логически в принципе невозможно. Логика вообще не предназначена для мышления. Она нужна для других вещей — мы еще обсудим для чего (спойлер:логика — это инструмент проверки, а не создания идей )
Второй стереотип — самый токсичный. Он ограничивает нас и делает фаталистами. Он сумел убедить добрую половину человечества, что математика — это чуждые и враждебные земли. Каждому из нас, включая самых одаренных, он полагает непреодолимый предел — уровень математической интуиции, который якобы «от природы» у каждого свой.
Третий стереотип — просто вариация на ту же тему: чтобы быть Эйнштейном или Декартом, надо таким родиться, им нельзя стать. А когда Эйнштейн и Декарт заявляют нам обратное, они просто над нами смеются.
Чтобы услышать, что нам пытаются сказать Эйнштейн и Декарт, сначала нужно избавиться от трех стереотипов о математике:
1. Чтобы заниматься математикой, надо мыслить логически.
2. Некоторые из нас от природы в ладах с числами, а некоторые от природы наделены хорошей геометрической интуицией — мол увы, подавляющее большинство не понимает в математике ровным счетом ничего, и с этим надо смириться.
3. Великие математики родились с иной структурой мозга, чем у нас.
По первому стереотипу скажем сразу: нет, математики не мыслят логически. И никто не мыслит логически. Более того, мыслить логически в принципе невозможно. Логика вообще не предназначена для мышления. Она нужна для других вещей — мы еще обсудим для чего (спойлер:
Второй стереотип — самый токсичный. Он ограничивает нас и делает фаталистами. Он сумел убедить добрую половину человечества, что математика — это чуждые и враждебные земли. Каждому из нас, включая самых одаренных, он полагает непреодолимый предел — уровень математической интуиции, который якобы «от природы» у каждого свой.
Третий стереотип — просто вариация на ту же тему: чтобы быть Эйнштейном или Декартом, надо таким родиться, им нельзя стать. А когда Эйнштейн и Декарт заявляют нам обратное, они просто над нами смеются.
Это представление, согласно которому мы якобы не способны стать успешными в математике, неверно, но исходит из фундаментальной истины: волшебная сила математиков не логика, а интуиция.
❤🔥7👍5
Суть динамики 8: водяное колесо Лоренца
00:00 Трёхэтапный хаос в модели Лоренца
04:11 Статистическая стабильность
05:57 Пример: мельница Лоренца
09:35 Мера Синая—Рюэлля—Боуэна
12:35 Как она позволяет предсказывать погоду
(источник + конспект)
00:00 Трёхэтапный хаос в модели Лоренца
04:11 Статистическая стабильность
05:57 Пример: мельница Лоренца
09:35 Мера Синая—Рюэлля—Боуэна
12:35 Как она позволяет предсказывать погоду
(источник + конспект)
YouTube
Хаос 8. Статистика. Мельница Лоренца
Зависимость будущего системы от начальных условий может выглядеть обескураживающе. Тем не менее, здесь существует положительный и конструктивный подход. Вот сообщение Лоренца, к сожалению, не столь хорошо известное широкой публике: «Но в целом, я утверждаю…
🔥4
Суть динамики 9: целостный взгляд на хаос (гипотезы Палиса)
00:00 Хаос в векторных полях
02:15 Бифуркационные диаграммы
04:31 Пример Боуэна системы без меры СРБ
09:50 Три гипотезы Палиса
11:13 Открытые проблемы и задачи
(источник + конспект)
00:00 Хаос в векторных полях
02:15 Бифуркационные диаграммы
04:31 Пример Боуэна системы без меры СРБ
09:50 Три гипотезы Палиса
11:13 Открытые проблемы и задачи
(источник + конспект)
YouTube
Хаос 9. Хаотическая или нет? Современные исследования
Существует много видов динамических систем. Некоторые из них сложны, другие нет. Чтобы лучше разобраться в этом, возьмём векторное поле, зависящее от одного параметра, и позволим этому параметру медленно изменяться. Мы видим, что динамическая система под…
👍4
Forwarded from Математика как практика
Нильпотентность в теории групп: дом с этажами
Группа называется нильпотентной, если её нижний центральный ряд,
Аналогия/метафора #наведениемостов
Представьте себе группу как «дом», состоящий из нескольких «этажей». Подгруппа
Класс/ступень нильпотентности группы — число непустых «этажей»: если
Каждый этаж дома устроен просто и понятно (абелев), но взаимодействие между этажами может создавать сложную архитектуру всего здания.
Границы применимости аналогии
В реальной жизни дом однозначно определяется своими этажами и способом их соединения. Однако в теории групп это предсказание ломается, ситуация принципиально иная: знание всех «этажей» (факторов нижнего центрального ряда) и даже способа их соединения не определяет группу однозначно — это фундаментальная проблема расширения в теории групп. Аналогия с домом не учитывает нетривиальные вторые когомологии, отвечающие центральным расширениям: одинаковые по этажам планировки могут быть скреплены по-разному — где поставить лестницу, какие несущие балки — и в результате «дома» окажутся неизоморфными.
Бонус. Чтобы увидеть, как в этой аналогии отражается ключевое свойство
Взаимодействие двух работников организации (коммутатор двух элементов) с уровня
Это — мощный инструмент для развития интуиции нильпотентности. Как вы думаете, какие ещё «здания» в теории групп можно описать подобным образом?
Группа называется нильпотентной, если её нижний центральный ряд,
G_0=G и G_{n+1}=[G,G_n], обрывается на единичной подгруппе. Эквивалентное определение: группа может быть построена из абелевых «блоков» с помощью последовательности центральных расширений.Аналогия/метафора #наведениемостов
Представьте себе группу как «дом», состоящий из нескольких «этажей». Подгруппа
G_n — часть «дома», начиная с этажа n и выше (этаж на земле, ground floor, нулевой). Сам «этаж» — это фактор G_n/G_{n+1} (пространство между G_n и G_{n+1}). Эти факторы всегда абелевы, поэтому «этажи» — «абелевы квартиры».Класс/ступень нильпотентности группы — число непустых «этажей»: если
G_n={1}, то дом имеет высоту n и больше не растёт вверх. Одноэтажные дома (нильпотентные ступени 1) — абелевы группы. Простейшая неабелева нильпотентная группа — дискретная группа Гейзенберга — имеет два «этажа»: Z^2 на нижнем и Z наверху[ Z ] <— этаж 1 (G_1/G_2 = G_1 = коммутант = центр)---- [Z^2] <— этаж 0 (G_0/G_1 = G/G_1 = абелианизация)Каждый этаж дома устроен просто и понятно (абелев), но взаимодействие между этажами может создавать сложную архитектуру всего здания.
Границы применимости аналогии
В реальной жизни дом однозначно определяется своими этажами и способом их соединения. Однако в теории групп это предсказание ломается, ситуация принципиально иная: знание всех «этажей» (факторов нижнего центрального ряда) и даже способа их соединения не определяет группу однозначно — это фундаментальная проблема расширения в теории групп. Аналогия с домом не учитывает нетривиальные вторые когомологии, отвечающие центральным расширениям: одинаковые по этажам планировки могут быть скреплены по-разному — где поставить лестницу, какие несущие балки — и в результате «дома» окажутся неизоморфными.
Бонус. Чтобы увидеть, как в этой аналогии отражается ключевое свойство
[G_p,G_q] ⊆ G_{p+q}, представьте себе, что наш дом — это штаб-квартира крупной организации. Первый этаж — общедоступное лобби, второй — внутренние документы, третий — «секретный архив» и т.д. Чем выше номер этажа — тем ближе к «центру» организации.Взаимодействие двух работников организации (коммутатор двух элементов) с уровня
p и q порождает документ/эффект, который кладут «выше», на уровень p+q. Коммутатор повышает уровень секретности и перемещает на более высокий этаж.Это — мощный инструмент для развития интуиции нильпотентности. Как вы думаете, какие ещё «здания» в теории групп можно описать подобным образом?
🤔4🔥3😁3
Суть теории гомологий 1: циклы и границы
01:50 Симплициальные и клеточные комплéксы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи
(источник)
01:50 Симплициальные и клеточные комплéксы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
21 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
21 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤🔥7❤3🔥3👍1
Суть теории гомологий 2: наглядные вычисления
00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера—Вьеториса
(источник)
00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера—Вьеториса
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
22 июля 2023 г. 17:15–18:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
22 июля 2023 г. 17:15–18:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤5👍3
Суть теории гомологий 3: когомологии
00:00 Панорамный вид
10:00 Последовательность Майера—Вьеториса интуитивно
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)
(источник)
00:00 Панорамный вид
10:00 Последовательность Майера—Вьеториса интуитивно
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
24 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
24 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤🔥3
Суть теории гомологий 4: одушевление когомологий
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
(источник)
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
👍4