Суть линейной алгебры: линейная комбинация, линейная оболочка и базисные векторы

00:00 Введение в векторные координаты
00:31 Скаляры и базисные векторы
01:55 Линейные комбинации векторов
03:36 Линейная оболочка
04:40 Представление векторов точками
06:05 Линейная оболочка в трёхмерном пространстве
08:24 Линейная зависимость и независимость

(источник)

Начало научного пути

1. Проходите курсы и слушайте лекции. Осваивайте множество различных курсов: на факультете и в интернете. Вы обязаны выяснить, что представляют собой различные предметы и нравится ли вам их математический "стиль": например, являетесь ли вы "калькулятором” или “концептуализатором”; мыслите ли вы формулами или картинками; насколько "широким", по вашему мнению, будет ваш путь как математика и т.д. Плюс вы сможете присмотреться к преподавателям и обдумать вашу потенциальную совместимость с ними в плане научного руководства. #выборнаучногоруководителя

2. Посещайте семинары. Многие студенты избегают семинаров, вероятно, потому, что не имеют представления о том, что означают заявленные названия, не слышали о докладчиках, думают, что быстро потеряются, и вообще считают, что семинары предназначены для преподавателей. Это всё ошибки!

Посещая семинары, вы постепенно узнаете о том, что происходит в математике "снаружи": вы познакомитесь с множеством различных областей современных исследований и сможете построить ментальную карту того, что люди изучают в настоящее время. Через некоторое время названия семинаров начнут что-то значить для вас!

Вы столкнётесь со множеством "нейм дроппингов" и узнаете, чьи работы вам следует просмотреть, чтобы узнать больше о тех или иных областях. Вам необходимо знать все это, чтобы в конечном итоге принять взвешенное решение о том, в какой области вы хотите работать.

Семинары на самом деле ориентированы на студентов не меньше, чем на преподавателей — зачастую преподавателям было бы эффективнее просто поговорить с приглашённым докладчиком с глазу на глаз, если бы единственной целью визита было услышать доказательство его/её последней теоремы.

Это действительно правда, что когда вы только начинаете ходить на семинары, вы в основном теряетесь:

Я почти ничего не понял из многочисленных семинаров по экзотическим теориям когомологий, которые я посетил в свой первый семестр. Но, по крайней мере, благодаря лояльному посещению я познакомился с преподавателями и докладчиками и почувствовал себя принятым "топологом".

Это чувство никогда не исчезает полностью! Однако все приличные докладчики стараются начинать с уровня, понятного всем, и постепенно повышать темп. Когда в (скажем) последние пятнадцать минут они действительно пытаются объяснить свое доказательство, разумно ожидать, что немногие люди, незнакомые с этой областью, все еще следят за всеми деталями, если вообще следят. Но дело в том, что объем, за которым вы способны следить, будет увеличиваться тем больше, чем больше вы посещаете семинары — так что лучше начать как можно раньше. Более того, лекторам нравится, когда люди задают вопросы (чтобы почувствовать, что их действительно слушают, а также чтобы получить удовольствие от ответов!), поэтому не бойтесь перебивать. #коммуникация

Еще один неочевидный момент заключается в том, что лекционные курсы по своей природе построены так, чтобы быть как можно более линейными: упорядоченная последовательность определения-теоремы-доказательства является нормой (с, хочется надеяться, некоторой мотивацией!).

На семинаре вы увидите "настоящую" математику: человек начинает с вопроса, проблемы или примера; объясняет, что о нем известно; описывает (иногда несколько различных попыток) решение; перечисляет оставшиеся без ответа вопросы или новые проблемы, возникшие в результате работы.

Это органическая, живая, грубая математика; семинар обычно ближе к математическому разговору, чем к чтению из учебника. #обучениедвижимоевопросами

3. Составьте ментальную карту того, что ещё предстоит изучить. Поймите, чего вы не знаете и что знаете. Речь идёт о вещах двух типов:
а) математические понятия/идеи
б) академические пласты деятельности.
#наведениемостов

Вот примеры второго типа: обучение математическому общению (с товарищами и преподавателями), решению задач, эффективному чтению статей, ясному письму и выступлению с докладами, поиск научного руководителя, поиск темы (направления) научной работы, поиск конкретной задачи для исследования, исследовательский процесс.

Джастин Робертс

Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы S^n в X. Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X.

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу π_{n+k}(S^n) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_{n+k}(S^n) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гомотопические группы топологического пространства
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения
3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер
4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения
5. Гомотопическая классификация отображений (n+1)-мерной сферы в n-мерную сферу

Литература
▪️Л. С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.

Пререквизиты
Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Правила погружения в язык на начальном этапе

00:00 Вы хотите улучшить свой испанский *вставьте свой любимый язык*? Я расскажу вещи, которые не стоит делать, и вещи, которые стоит делать

00:23 Когда слушаете, не повторяйте слова вслух, а думайте о них про себя, осмысляя и переваривая сами понятия и образы
01:00 Не старайтесь заучивать/запоминать отдельные слова, а расслабляйтесь и позвольте им лишь мелькать в вашем сознании, концентрируйтесь на контексте
01:39 Не переводите слова, а концентрируйтесь на образах, которые они вызывают
02:02 Не беспокойтесь, если не понимаете значения отдельных слов, а старайтесь уловить общий смысл и тренируйте толерантность к неопределённости
02:29 Не конспектируйте
02:56 Не используйте словари
03:25 Отбросьте скучные материалы и ищите то, что вам интересно
03:51 Отбросьте слишком сложные материалы и ищите то, что соответствует вашему уровню
04:20 Не используйте субтитры
04:38 Погружайтесь в контент, развлекайтесь и наслаждайтесь!

Итог: сфокусируйтесь на погружении в интересный и доступный вам материал, стараясь понять общий смысл (источник)

Три заблуждения

Чтобы услышать, что нам пытаются сказать Эйнштейн и Декарт, сначала нужно избавиться от трех стереотипов о математике:

1. Чтобы заниматься математикой, надо мыслить логически.

2. Некоторые из нас от природы в ладах с числами, а некоторые от природы наделены хорошей геометрической интуицией — мол увы, подавляющее большинство не понимает в математике ровным счетом ничего, и с этим надо смириться.

3. Великие математики родились с иной структурой мозга, чем у нас.

По первому стереотипу скажем сразу: нет, математики не мыслят логически. И никто не мыслит логически. Более того, мыслить логически в принципе невозможно. Логика вообще не предназначена для мышления. Она нужна для других вещей — мы еще обсудим для чего (спойлер: логика — это инструмент проверки, а не создания идей)

Второй стереотип — самый токсичный. Он ограничивает нас и делает фаталистами. Он сумел убедить добрую половину человечества, что математика — это чуждые и враждебные земли. Каждому из нас, включая самых одаренных, он полагает непреодолимый предел — уровень математической интуиции, который якобы «от природы» у каждого свой.

Третий стереотип — просто вариация на ту же тему: чтобы быть Эйнштейном или Декартом, надо таким родиться, им нельзя стать. А когда Эйнштейн и Декарт заявляют нам обратное, они просто над нами смеются.

Это представление, согласно которому мы якобы не способны стать успешными в математике, неверно, но исходит из фундаментальной истины: волшебная сила математиков не логика, а интуиция.