Теорема Гаусса-Бонне

00:00 Формулировка
00:48 Появление эйлеровой характеристики
01:44 Отображение Гаусса и гауссова кривизна
04:36 Интиуитивный смысл теоремы
07:23 Идея доказательства
08:06 Параллельный перенос, геодезические и голономия
13:35 Отображение Гаусса сохраняет параллельный перенос
15:40 Сведение воедино
19:15 Обобщения

(источник)

Главное из анализа функций одной переменной

01:13 Суть матанализа (1)
10:15 Интеграл
13:04 Производная
15:06 Основная теорема матанализа

16:00 Парадокс производной (2)
23:06 Определение
26:06 Примеры

32:32 Формулы производных через геометрию (3)
38:00 Приводная x^3 наглядно
44:20 Задача для размышления
45:40 Производная синуса

49:33 Производные произведения и композиции (4)
56:15 Примеры

01:05:13 Что особенного в числе Эйлера? (5)
01:08:49 Геометрическая аналогия

01:18:39 Дифференцирование неявно заданных функций (6)
01:22:04 Задача о лестнице
01:28:31 Пример с синусом
01:31:11 Натуральный логарифм
01:32:20 Многомерный анализ

01:33:51 Пределы (7)
01:41:46 Эпсилон-дельта определение
01:48:05 Правило Лопиталя

01:51:36 Интегрирование (8)
01:52:55 Задача об автомобиле
01:58:16 Площадь под графиком
02:06:50 Основная теорема матанализа

02:10:56 Какое отношение площадь имеет к наклону? (9)
02:13:00 Среднее значение
02:21:55 Суть: нахождение среднего наклона

02:23:15 Производные высших порядков (10)
02:25:19 Аналогия с ускорением

02:28:44 Ряд Тейлора (11)
02:37:09 Факториалы и контроль производных
02:43:09 Геометрическое понимание
02:47:59 Радиус сходимости

02:50:39 Другой способ визуализации производных (12)
02:56:42 Применение к цепным дробям
02:58:50 Магический пример 1+1/x

(источник)

Как правильно думать о производных и интегралах

01:20 Линейные отображения
06:01 Производная в 1D
08:08 Производная в 2D
13:01 Интегрирование
17:26 Замена переменных при интегрировании в 1D
19:25 Замена переменных при интегрировании в 2D
22:59 От декартовой к полярной системе координат

(источник)

Суть комплексного анализа

01:31 План мини-курса
02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham
02:58 Введение в комплексные числа
10:09 Декартовы и полярные координаты
10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство
12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство
16:01 Сложение и вычитание
17:10 Умножение
19:04 Сопряжение
20:43 Деление
22:21 Возведение в степень
23:09 Логарифмирование
24:48 Синус и косинус
26:54 Формула Муавра
27:46 Извлечение корней
31:51 Формула Эйлера возвращается
34:10 Выводы

Комплексный анализ — невероятно мощный инструмент, находящий приложения в дифференциальных уравнениях (уравнения Лапласа, обратные преобразования Фурье/Лапласа), основной теореме алгебры, теории чисел, гипотезе Римана и вычислении красивых интегралов (чтобы повыпендриваться!)
Мы начинаем мини-курс, который сосредоточен на визуальном восприятии идей комплексного анализа, а не на традиционном строгом подходе. Мы не коснёмся сильно продвинутых тем вроде теоремы Римана об отображении или теоремы Пикара, но получим уверенное базовое представление о предмете. (источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса)

00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии

(источник)

Визуализация комплексных функций

01:03 Использование цвета
03:35 Трёхмерные графики
05:45 Векторные поля
07:50 z-w-плоскость
10:53 Сфера Римана

13:42 Примеры
14:43 Добавление константы
16:33 Умножение на константу
19:58 Экспоненциирование
23:29 Возведение в целую степень
27:53 Комплексная инверсия
29:21 Ветви квадратного корня
34:29 Римановы поверхности
36:35 Логарифм
40:33 Спиральный график логарифма

(источник)

Преобразования Мёбиуса

02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности)
08:31 Свойства инверсии
14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы)
19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана
22:37 Гиперболическая геометрия
23:12 Комплексная геометрия
23:24 Математическая физика

(источник)

Голоморфные (аналитические) функции

1:53 Производная в вещественном смысле
4:31 Дифференциал гладкого отображения наглядно
9:17 Производная в комплексном смысле
13:02 Конформность (сохранение углов)
16:01 Условия Коши-Римана интуитивно

(источник)

Ротор и дивергенция: наглядное объяснение

0:00 Векторные поля
2:24 Дивергенция
4:40 Ротор
5:57 Уравнения Максвелла: электрические и магнитные поля
7:50 Динамические системы
10:46 Геометрический смысл: скалярное и векторное произведения

(источник)

Две интуитивные версии теоремы Грина

00:00 Изначальная формулировка (источник)

01:09 Приложения:
01:42 Динамические системы и теория индекса
01:55 Комплексный анализ и теорема о вычетах
02:18 Предвкушение формулы Стокса (источник)

03:09 1. Формула Грина о роторе
04:02 2. Формула Грина о дивергенции
04:44 Сравнение плотностей (источник)

07:41 Правильная формулировка
09:11 Физическая [интуитивная] интерпретация (источник)

Из серии «Calculus BLUE»

Одна формула, чтобы править всеми

00:27 Формула Ньютона-Лейбница
00:57 Формула Грина о роторе
02:19 Формула Гаусса-Остроградского о дивергенции в 3D
02:53 Формула Грина о дивергенции в 2D
03:07 Внешняя производная
03:57 Теорема Стокса
04:56 Интегрирование vs дифференцирование

(источник)

Дифференцирование, которому вас не учили

00:00 Производная
1:08 Гомологии
3:41 Когомологии
7:45 Теорема де Рама
9:02 Панчлайн

(источник)

Комплексное интегрирование на понятном языке

00:00 Две интуиции вещественного интегрирования
05:54 Визуализация методом Пойи [Pólya vector field]
08:14 Интеграл — это работа и поток векторного поля Пойи
12:17 Теорема Коши (интеграл по замкнутому контуру нулевой)
17:23 Интегрирование 1/z наглядно
21:12 Другие степени z
27:10 Интегральная формула Коши
30:28 Теорема о вычетах и как её использовать
35:00 В чём прикол?

(источник)

Аналитическое продолжение комплексных функций

01:14 Дзета-функция Римана
07:39 Визуализация
10:48 1+2+3+4+...
13:58 Аналитические функции
15:28 Аналитическое продолжение интуитивно
17:24 Гипотеза Римана
20:01 Единственность продолжения и -1/12

(источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады

01:00 Формулировка
02:00 Двумерный аналог
03:04 Вероятность попадания на дугу
04:29 Перенос в 3D
05:24 Интегрирование
07:38 Изящное решение
08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра

(источник)

Три уровня понимания формулы Байеса

0:00 Думай медленно, решай быстро
4:09 Формулировка
10:13 Интуитивное понимание
13:35 Распространённая ошибка

(источник)

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса

00:19 Симметричность
01:15 Приложения
01:45 Распространенное заблуждение
02:38 Независимость событий
02:55 Геймифицированные примеры

(источник)

Что лучше: когда у продавца более высокий рейтинг или больше отзывов?

00:28 Интуитивное объяснение
01:39 Правило наследования Лапласа
03:00 Основная модель
06:21 Биномиальное распределение
09:04 График вероятности
10:56 Вероятность успеха
11:36 Максимизация вероятности

(источник)

Почему "вероятность 0" не означает "невозможно"

00:41 Парадокс
02:24 Практическое использование
04:20 Плотность вероятностей
05:02 Функция плотности
06:02 Теория меры
09:12 Заключение

(источник)