This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Проекция путей в накрываемое пространство (базу)
❤4
Forwarded from Студенческий семинар по маломерной топологии
В субботу (9 ноября) в 13:40 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):
«Топологическая интерпретация некоторых групп раскрасок зацеплений»
Вадим Степанюк
Классификация зацеплений является фундаментальной задачей теории узлов. Чтобы различать объекты, мы ищем инварианты. И одним из интересных инвариантов зацеплений являются группы раскрасок. На докладе мы обсудим раскраски при помощи групп целых чисел и торов произвольной размерности.
На первый взгляд, группы раскрасок являются чисто комбинаторным инвариантом. Однако оказывается, что они допускают и топологическую интерпретацию. А именно — имеется непосредственная связь с гомологиями циклических разветвленных накрытий над узлом.
В завершение обсудим обобщение этого подхода для произвольных топологических групп, а также более общие подходы к раскраскам.
От слушателей предполагается знакомство с базовыми вещами из алгебры и теории узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.
«Топологическая интерпретация некоторых групп раскрасок зацеплений»
Вадим Степанюк
Классификация зацеплений является фундаментальной задачей теории узлов. Чтобы различать объекты, мы ищем инварианты. И одним из интересных инвариантов зацеплений являются группы раскрасок. На докладе мы обсудим раскраски при помощи групп целых чисел и торов произвольной размерности.
На первый взгляд, группы раскрасок являются чисто комбинаторным инвариантом. Однако оказывается, что они допускают и топологическую интерпретацию. А именно — имеется непосредственная связь с гомологиями циклических разветвленных накрытий над узлом.
В завершение обсудим обобщение этого подхода для произвольных топологических групп, а также более общие подходы к раскраскам.
От слушателей предполагается знакомство с базовыми вещами из алгебры и теории узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Знакопеременная подгруппа A_5 группы SO(3) в модели в трёхмерном шаре с антиподальным порталом
Вершины многогранников представляют элементы группы. Центр шара — нейтральный элемент, а вершины одного и того же многогранника образуют отдельные классы сопряженности в A_5
Напомним, что действие элемента группы A_5 на R^3 представляет собой поворот вокруг прямой, идущей из центра шара в соответствующую вершину, на угол, равный расстоянию от центра до этой вершины
Обозначения:
▪️Серая сфера радиуса \pi — граница шаровой модели для SO(3).
▪️Желтый икосододекаэдр радиуса \pi — класс сопряженности (2,2)-циклов. Вершин 30, но ввиду портала получается 15 элементов.
▪️Фиолетовый и красный икосаэдры радиусов 4\pi/5 и 2\pi/5 представляют половину расщепимых 5-циклов, каждый из 12 элементов.
▪️Зелёный додекаэдр радиуса 2\pi/3 представляет класс сопряжённости 3-циклов и состоит из 20 элементов.
Итого: 1+15+12+12+20=60 элементов в A_5
P. S. Единственный нетривиальный внешний автоморфизм группы A_5 меняет два икосаэдра местами (link)
Вершины многогранников представляют элементы группы. Центр шара — нейтральный элемент, а вершины одного и того же многогранника образуют отдельные классы сопряженности в A_5
Напомним, что действие элемента группы A_5 на R^3 представляет собой поворот вокруг прямой, идущей из центра шара в соответствующую вершину, на угол, равный расстоянию от центра до этой вершины
Обозначения:
▪️Серая сфера радиуса \pi — граница шаровой модели для SO(3).
▪️Желтый икосододекаэдр радиуса \pi — класс сопряженности (2,2)-циклов. Вершин 30, но ввиду портала получается 15 элементов.
▪️Фиолетовый и красный икосаэдры радиусов 4\pi/5 и 2\pi/5 представляют половину расщепимых 5-циклов, каждый из 12 элементов.
▪️Зелёный додекаэдр радиуса 2\pi/3 представляет класс сопряжённости 3-циклов и состоит из 20 элементов.
Итого: 1+15+12+12+20=60 элементов в A_5
P. S. Единственный нетривиальный внешний автоморфизм группы A_5 меняет два икосаэдра местами (link)
❤🔥3👍2🔥1
Math Atlas 103
(3/5) Получается модель трехмерной сферы, состоящая из пары шаров со сферическим порталом-телепортом
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Обзор сферической геометрии
00:00 Геометрия двумерной сферы с точки зрения флатландцев
00:55 Геометрия трёхмерной сферы
02:21 Hyperbolica
(источник)
00:00 Геометрия двумерной сферы с точки зрения флатландцев
00:55 Геометрия трёхмерной сферы
02:21 Hyperbolica
(источник)
🔥3😁2❤1
Math Atlas 103
Трёхмерный тор: вид изнутри
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Евклидовы трёхмерные многообразия
00:00 «Curved Spaces»
00:27 Работа зрения на примере квадратного тора
02:09 Трёхмерный тор (модель в кубе)
03:28 Модель трёхмерного тора в шестиугольной призме
04:08 Три двумерные геометрии
05:20 Классификация евклидовых многообразий (18)
06:15 Тор отображения поворота на одну шестую
06:47 Тор отображения полуоборота
07:42 Пространство Ханце-Вендта
08:22 Пространство Клейна
09:30 Наша вселенная
10:50 Гиперболическая геометрия
11:17 Пространство Зейферта-Вебера
11:30 Многообразие «призма»
(источник)
00:00 «Curved Spaces»
00:27 Работа зрения на примере квадратного тора
02:09 Трёхмерный тор (модель в кубе)
03:28 Модель трёхмерного тора в шестиугольной призме
04:08 Три двумерные геометрии
05:20 Классификация евклидовых многообразий (18)
06:15 Тор отображения поворота на одну шестую
06:47 Тор отображения полуоборота
07:42 Пространство Ханце-Вендта
08:22 Пространство Клейна
09:30 Наша вселенная
10:50 Гиперболическая геометрия
11:17 Пространство Зейферта-Вебера
11:30 Многообразие «призма»
(источник)
🔥5👍3❤1🍌1
Forwarded from Студенческий семинар по маломерной топологии
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Каталог материалов по маломерной топологии
▪️Картинки
▪️Анимации(требуется VPN)
▪️Литература
▪️Курсы лекций и доклады
▪️Картинки
▪️Анимации
▪️Литература
▪️Курсы лекций и доклады
👍4❤1🔥1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Блистательная теорема Гаусса
00:00 Формулировка
02:40 Кривизна
10:32 Площади сферических треугольников
17:34 Отображение Гаусса...
22:15 ...сохраняет геодезические
27:16 ...сохраняет параллельный перенос
31:46 На сфере голономия это площадь
36:43 Сведение воедино
(источник)
00:00 Формулировка
02:40 Кривизна
10:32 Площади сферических треугольников
17:34 Отображение Гаусса...
22:15 ...сохраняет геодезические
27:16 ...сохраняет параллельный перенос
31:46 На сфере голономия это площадь
36:43 Сведение воедино
(источник)
🔥2❤1👍1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Дифференциальная геометрия vs линейная алгебра
00:00 Понятие кривизны
01:57 Отображение Гаусса
05:59 Вторая квадратичная форма
07:43 Гауссова и средняя кривизны
11:12 Матричное представление второй квадратичной формы
14:33 Сведение воедино
(источник)
00:00 Понятие кривизны
01:57 Отображение Гаусса
05:59 Вторая квадратичная форма
07:43 Гауссова и средняя кривизны
11:12 Матричное представление второй квадратичной формы
14:33 Сведение воедино
(источник)
🔥2❤1👍1🌭1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Минимальные поверхности
00:00 Задача Плато
01:28 Силы, действующие на поверхность
03:36 Давление
08:40 Поток и средняя кривизна
11:06 Минимальность поверхности
13:36 Математическая модель
14:28 Решение задачи Плато
15:46 Применение в компьютерной графике
(источник)
00:00 Задача Плато
01:28 Силы, действующие на поверхность
03:36 Давление
08:40 Поток и средняя кривизна
11:06 Минимальность поверхности
13:36 Математическая модель
14:28 Решение задачи Плато
15:46 Применение в компьютерной графике
(источник)
❤🔥2👍1🔥1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Теорема Гаусса-Бонне
00:00 Формулировка
00:48 Появление эйлеровой характеристики
01:44 Отображение Гаусса и гауссова кривизна
04:36 Интиуитивный смысл теоремы
07:23 Идея доказательства
08:06 Параллельный перенос, геодезические и голономия
13:35 Отображение Гаусса сохраняет параллельный перенос
15:40 Сведение воедино
19:15 Обобщения
(источник)
00:00 Формулировка
00:48 Появление эйлеровой характеристики
01:44 Отображение Гаусса и гауссова кривизна
04:36 Интиуитивный смысл теоремы
07:23 Идея доказательства
08:06 Параллельный перенос, геодезические и голономия
13:35 Отображение Гаусса сохраняет параллельный перенос
15:40 Сведение воедино
19:15 Обобщения
(источник)
🔥5❤2👍1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Главное из анализа функций одной переменной
01:13 Суть матанализа (1)
10:15 Интеграл
13:04 Производная
15:06 Основная теорема матанализа
16:00 Парадокс производной (2)
23:06 Определение
26:06 Примеры
32:32 Формулы производных через геометрию (3)
38:00 Приводная x^3 наглядно
44:20 Задача для размышления
45:40 Производная синуса
49:33 Производные произведения и композиции (4)
56:15 Примеры
01:05:13 Что особенного в числе Эйлера? (5)
01:08:49 Геометрическая аналогия
01:18:39 Дифференцирование неявно заданных функций (6)
01:22:04 Задача о лестнице
01:28:31 Пример с синусом
01:31:11 Натуральный логарифм
01:32:20 Многомерный анализ
01:33:51 Пределы (7)
01:41:46 Эпсилон-дельта определение
01:48:05 Правило Лопиталя
01:51:36 Интегрирование (8)
01:52:55 Задача об автомобиле
01:58:16 Площадь под графиком
02:06:50 Основная теорема матанализа
02:10:56 Какое отношение площадь имеет к наклону? (9)
02:13:00 Среднее значение
02:21:55 Суть: нахождение среднего наклона
02:23:15 Производные высших порядков (10)
02:25:19 Аналогия с ускорением
02:28:44 Ряд Тейлора (11)
02:37:09 Факториалы и контроль производных
02:43:09 Геометрическое понимание
02:47:59 Радиус сходимости
02:50:39 Другой способ визуализации производных (12)
02:56:42 Применение к цепным дробям
02:58:50 Магический пример 1+1/x
(источник)
01:13 Суть матанализа (1)
10:15 Интеграл
13:04 Производная
15:06 Основная теорема матанализа
16:00 Парадокс производной (2)
23:06 Определение
26:06 Примеры
32:32 Формулы производных через геометрию (3)
38:00 Приводная x^3 наглядно
44:20 Задача для размышления
45:40 Производная синуса
49:33 Производные произведения и композиции (4)
56:15 Примеры
01:05:13 Что особенного в числе Эйлера? (5)
01:08:49 Геометрическая аналогия
01:18:39 Дифференцирование неявно заданных функций (6)
01:22:04 Задача о лестнице
01:28:31 Пример с синусом
01:31:11 Натуральный логарифм
01:32:20 Многомерный анализ
01:33:51 Пределы (7)
01:41:46 Эпсилон-дельта определение
01:48:05 Правило Лопиталя
01:51:36 Интегрирование (8)
01:52:55 Задача об автомобиле
01:58:16 Площадь под графиком
02:06:50 Основная теорема матанализа
02:10:56 Какое отношение площадь имеет к наклону? (9)
02:13:00 Среднее значение
02:21:55 Суть: нахождение среднего наклона
02:23:15 Производные высших порядков (10)
02:25:19 Аналогия с ускорением
02:28:44 Ряд Тейлора (11)
02:37:09 Факториалы и контроль производных
02:43:09 Геометрическое понимание
02:47:59 Радиус сходимости
02:50:39 Другой способ визуализации производных (12)
02:56:42 Применение к цепным дробям
02:58:50 Магический пример 1+1/x
(источник)
🔥4❤1👍1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Как правильно думать о производных и интегралах
01:20 Линейные отображения
06:01 Производная в 1D
08:08 Производная в 2D
13:01 Интегрирование
17:26 Замена переменных при интегрировании в 1D
19:25 Замена переменных при интегрировании в 2D
22:59 От декартовой к полярной системе координат
(источник)
01:20 Линейные отображения
06:01 Производная в 1D
08:08 Производная в 2D
13:01 Интегрирование
17:26 Замена переменных при интегрировании в 1D
19:25 Замена переменных при интегрировании в 2D
22:59 От декартовой к полярной системе координат
(источник)
🔥5❤1👍1💘1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Суть комплексного анализа
01:31 План мини-курса
02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham
02:58 Введение в комплексные числа
10:09 Декартовы и полярные координаты
10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство
12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство
16:01 Сложение и вычитание
17:10 Умножение
19:04 Сопряжение
20:43 Деление
22:21 Возведение в степень
23:09 Логарифмирование
24:48 Синус и косинус
26:54 Формула Муавра
27:46 Извлечение корней
31:51 Формула Эйлера возвращается
34:10 Выводы
01:31 План мини-курса
02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham
02:58 Введение в комплексные числа
10:09 Декартовы и полярные координаты
10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство
12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство
16:01 Сложение и вычитание
17:10 Умножение
19:04 Сопряжение
20:43 Деление
22:21 Возведение в степень
23:09 Логарифмирование
24:48 Синус и косинус
26:54 Формула Муавра
27:46 Извлечение корней
31:51 Формула Эйлера возвращается
34:10 Выводы
Комплексный анализ — невероятно мощный инструмент, находящий приложения в дифференциальных уравнениях (уравнения Лапласа, обратные преобразования Фурье/Лапласа), основной теореме алгебры, теории чисел, гипотезе Римана и вычислении красивых интегралов (чтобы повыпендриваться!)
Мы начинаем мини-курс, который сосредоточен на визуальном восприятии идей комплексного анализа, а не на традиционном строгом подходе. Мы не коснёмся сильно продвинутых тем вроде теоремы Римана об отображении или теоремы Пикара, но получим уверенное базовое представление о предмете. (источник)
🔥6❤1👍1
Forwarded from Math Atlas 102
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса)
00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии
(источник)
00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии
(источник)
👍6❤1🔥1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Визуализация комплексных функций
01:03 Использование цвета
03:35 Трёхмерные графики
05:45 Векторные поля
07:50 z-w-плоскость
10:53 Сфера Римана
13:42 Примеры
14:43 Добавление константы
16:33 Умножение на константу
19:58 Экспоненциирование
23:29 Возведение в целую степень
27:53 Комплексная инверсия
29:21 Ветви квадратного корня
34:29 Римановы поверхности
36:35 Логарифм
40:33 Спиральный график логарифма
(источник)
01:03 Использование цвета
03:35 Трёхмерные графики
05:45 Векторные поля
07:50 z-w-плоскость
10:53 Сфера Римана
13:42 Примеры
14:43 Добавление константы
16:33 Умножение на константу
19:58 Экспоненциирование
23:29 Возведение в целую степень
27:53 Комплексная инверсия
29:21 Ветви квадратного корня
34:29 Римановы поверхности
36:35 Логарифм
40:33 Спиральный график логарифма
(источник)
👍4🔥2❤1