Гомотопия кривой

Задача о регулярной гомотопности плоских замкнутых кривых

Гладкая кривая называется регулярной, если в каждой её точке касательный вектор — ненулевой. Гомотопия, в которой каждое промежуточное отображение является регулярной кривой, называется регулярной.

Как понять по двум регулярным кривым, связаны ли они регулярной гомотопией?

Числом оборотов (turning number) регулярной кривой называется суммарное число оборотов касательных векторов при однократном обходе этой кривой

Число оборота сохраняется при регулярной гомотопии

Теорема Уитни—Грауштейна

Любые две регулярные кривые с одинаковым числом оборота связаны регулярной гомотопией.

Это значит, что число оборота является полным инвариантом при регулярной гомотопии. То есть равенство чисел оборота — это критерий регулярной гомотопности. Подробности: ссылка.

Задача о выворачивании поверхности

Необходимо построить такую гомотопию между стандартным отображением из поверхности в R^3 и его композицией с отражением относительно плоскости, чтобы каждое её промежуточное отображение являлось локальным гомеоморфизмом на свой образ ("погружением").

На анимации показаны неудачные попытки для сферы.

Загадка: почему не существует подобной гомотопии сферы, каждое промежуточное сечение которой является аж гомеоморфизмом на свой образ (иными словами, инъективным)?

Выворачивание сферы (1/7): правила игры

Выворачивание сферы (2/7): задача о регулярной гомотопности плоских замкнутых кривых

Выворачивание сферы (3/7): число оборота сохраняется при регулярных гомотопиях

Выворачивание сферы (4/7): формула Эйлера — Пуанкаре — Хопфа

Выворачивание сферы (5/7): теорема Уитни-Грауштейна и создание морщин

Выворачивание сферы (6/7): использование трюка Дирака

Выворачивание сферы (7/7): основной приём

Расслоение Хопфа (1/15). Окружности Вилларсó на торе

Расслоение Хопфа (2/15). Заполнение тора непересекающимися окружностями Вилларсó

Расслоение Хопфа (3/15). Любые две окружности Вилларсó зацеплены как в зацеплении Хопфа

Расслоение Хопфа (4/15). Заполнение полнотория непересекающимися окружностями

Расслоение Хопфа (5/15). Загадка. Как заполнить трёхмерную сферу непересекающимися окружностями так, чтобы любые две из них были зацеплены?