Антиподы на планете Земля

Топологический зоопарк

Двумерные пространства ("полиэдры"), возникающие в топологии, геометрии, теории минимальных поверхностей. Показано выворачивание наизнанку тора с дыркой. В результате такого выворачивания параллель и меридиан меняются местами. Слева внизу, в тени колонны, лежит ожерелье Антуана — известный объект в общей топологии. Рядом, на освещенной площадке, — минимальная поверхность (мыльная пленка). Эта пленка может быть непрерывно отображена на свою граничную окружность так, что граница останется неподвижной. Этот пример Дж. Ф. Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса. В центре зала показан 2-адический соленоид. Справа вверху — юмористическая сценка: "оживший полиэдр" разваливается на свои составные части — раковины (скорпионы).

Скольжения универсального накрытия тора

Скольжения универсального накрытия букета двух окружностей

Параметризованные кривые

Гомотопия кривой

Задача о регулярной гомотопности плоских замкнутых кривых

Гладкая кривая называется регулярной, если в каждой её точке касательный вектор — ненулевой. Гомотопия, в которой каждое промежуточное отображение является регулярной кривой, называется регулярной.

Как понять по двум регулярным кривым, связаны ли они регулярной гомотопией?

Числом оборотов (turning number) регулярной кривой называется суммарное число оборотов касательных векторов при однократном обходе этой кривой

Число оборота сохраняется при регулярной гомотопии

Теорема Уитни—Грауштейна

Любые две регулярные кривые с одинаковым числом оборота связаны регулярной гомотопией.

Это значит, что число оборота является полным инвариантом при регулярной гомотопии. То есть равенство чисел оборота — это критерий регулярной гомотопности. Подробности: ссылка.

Задача о выворачивании поверхности

Необходимо построить такую гомотопию между стандартным отображением из поверхности в R^3 и его композицией с отражением относительно плоскости, чтобы каждое её промежуточное отображение являлось локальным гомеоморфизмом на свой образ ("погружением").

На анимации показаны неудачные попытки для сферы.

Загадка: почему не существует подобной гомотопии сферы, каждое промежуточное сечение которой является аж гомеоморфизмом на свой образ (иными словами, инъективным)?

Выворачивание сферы (1/7): правила игры

Выворачивание сферы (2/7): задача о регулярной гомотопности плоских замкнутых кривых

Выворачивание сферы (3/7): число оборота сохраняется при регулярных гомотопиях

Выворачивание сферы (4/7): формула Эйлера — Пуанкаре — Хопфа

Выворачивание сферы (5/7): теорема Уитни-Грауштейна и создание морщин