Прообразы правильно накрываемых окрестностей

Накрытие ленты S^1x[0,1] бесконечной в обе стороны полосой Rx[0,1]

Накрытие бесконечного цилиндра S^1xR плоскостью RxR

Накрытие ленты Мёбиуса бесконечной в обе стороны полосой Rx[0,1]

Накрытие ленты Мёбиуса обыкновенной лентой

Двулистное накрытие окружности окружностью, а также поднятие путей в накрывающее пространство

При единичном обходе базы два прообраза отмеченной точки меняются местами (эффект монодромии)

Сравнение трёх накрытий с базой окружность

Проективная плоскость: от топологии к геометрии

Поверхность Боя (с дырой для лучшего вида) и проективная прямая на ней

Outside In: Как вывернуть сферу наизнанку

Анимация рассказывает об удивительном открытии, сделанном Стивеном Смейлом в 1957 году: сферу можно вывернуть наизнанку с помощью плавных движений и самопересечений.

Путем беседы и объяснения, доступного каждому, кто хоть немного интересуется математикой, "Outside In" подводит к грандиозному финалу: методу "гофрирования" Уильяма Тёрстона, позволяющему вывернуть сферу. Попутно рассказчики обсуждают смежный случай замкнутых кривых на плоскости и то, почему их, напротив, нельзя вывернуть наизнанку. Повседневные аналогии, такие как железнодорожные пути, ремни, улыбки и хмурые лица, используются повсюду, всё это богато анимировано и дополнено звуковыми эффектами.

Текстовый вариант доступен по ссылке.

Выворачивание сферы методом Тёрстона

Поверхности в трёхмерном пространстве

Справа видны сферы — простейшие двумерные многообразия. Слева, как листья гигантских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху — тор, "бублик". На переднем плане — лист Мебиуса, в виде "скрещенного колпака". Здесь же — сферы с большим числом ручек, а также — два пространства, не являющихся многообразиями, — сферы с тремя отождествленными точками (нечто, похожее на морское животное).

Дальнейшие приложения трюков с ремнями

А что это за эффект? замаскированный трюк Дирака или, может, совершенно новое явление?

Отображение из двумерной сферы в проколотое пространство R^3\{(0,0,0)}, негомотопное постоянному