(2/8) При этом ремень, прокрученный на ровно один полный оборот, невозможно развязать, оставляя обе его бляшки в горизонтальном положении

(3/8) Помимо трюка с ремнём, трюк Дирака также допускает следующее альтернативное воплощение — трюк с тарелкой

(4/8) Анонс: трюк Дирака используется в решении задачи о выворачивании сферы

(5/8) Если сохраняющее ориентацию движение евклидова пространства R^3 имеет неподвижную точку, то оно является поворотом вокруг некоторой прямой (теорема Эйлера о поворотах)

Чтобы задать такой поворот, можно указать вектор, порождающий соответствующую прямую, длина которого равна величине желаемого узла поворота, измеряющегося от -π до π

Итого, вращения, т.е. элементы группы SO(3), можно кодировать точками трёхмерного шара радиуса π

(6/8) Такая кодировка вращений неоднозначна, однако единственная неоднозначность состоит в том, что повороты на углы -π и π, совершаемые вокруг одной и той же прямой, совпадают

Таким образом, пространство SO(3) гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар противоположных точек на граничной сфере, то есть трёхмерному проективному пространству RP^3

(7/8) Трюк Дирака: истинное обличие

Фундаментальная группа пространства SO(3) вращений евклидова пространства R^3 изоморфна группе Z/2Z

(8/8) Подробно о соответствии между конфигурациями ремня и петлями в пространстве SO(3): на русском, на английском

Гомотопия квадрик: окружность, эллипс, парабола, гипербола, прямая

Гомотопия эллиптических кривых

Построение поверхности Боя — примечательного отображения проективной плоскости RP^2 в пространство R^3

(источник)

Поверхность Боя как результат заклейки ленты Мёбиуса диском

Сравнение поверхности Боя и пространства антиподов на сфере

Иллюстрируется неориентируемость проективной плоскости путём указания на односторонность её изображения