На проективной плоскости RP^2, рассматриваемой в модели в диске с антиподальным телепортом, петля, дважды обходящая диаметр диска, стягиваема. (Сравните с этой анимацией.)

P. S. Фундаментальная группа проективной плоскости порождается классом петли, единожды проходящей вдоль диаметра диска, и изоморфна группе Z/2Z.

Тэруаки: режем, скручиваем, клеим

Нажмите на одну из пяти кривых, чтобы применить скручивание Дена вдоль неё. Ваша цель — привести заданный узор в стандартный.

Всего доступно 30 уровней. Играть — по ссылке.

По теореме Дена—Ликориша, любую неразбивающую простую замкнутую кривую на сфере с ручками можно перевести скручиваниями Дена в любую другую.

(1/5) Двумерная сфера S^2 делится экваториальной окружностью S^1 на два диска. Такое разложение позволяет воображать сферу в своего рода модели, состоящей из пары дисков и портала между ними

(2/5) Аналогично трёхмерная сфера S^3 делится экваториальной сферой S^2 на два трёхмерных шара. (Экваториальная сфера является общей границей этих шаров.)

(3/5) Получается модель трехмерной сферы, состоящая из пары шаров со сферическим порталом-телепортом

(4/5) Если точка трёхмерной сферы попадает в один шар, то её антипод (диаметрально-противоположная точка) — в другой. Кроме того, у точек, лежащих на экваториальной сфере (т. е. на самом портале), антипод лежит на этой же сфере (и на рисунке выглядит по-настоящему диаметрально-противоположным)

(5/5) Таким образом, пространство, получающееся из S^3 отождествлением антиподальных точек, гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар диаметрально-противоположных точек на его граничной сфере

Это в точности проективное пространство RP^3

На рисунке указаны петли в S^3 (верхняя часть изображения) и их образы относительно канонической проекции на RP^3 (нижняя часть)

(1/8) Трюк Дирака

Ремень, прокрученный на два полных оборота, можно распутать, оставляя обе его бляшки в горизонтальном положении

(2/8) При этом ремень, прокрученный на ровно один полный оборот, невозможно развязать, оставляя обе его бляшки в горизонтальном положении

(3/8) Помимо трюка с ремнём, трюк Дирака также допускает следующее альтернативное воплощение — трюк с тарелкой

(4/8) Анонс: трюк Дирака используется в решении задачи о выворачивании сферы

(5/8) Если сохраняющее ориентацию движение евклидова пространства R^3 имеет неподвижную точку, то оно является поворотом вокруг некоторой прямой (теорема Эйлера о поворотах)

Чтобы задать такой поворот, можно указать вектор, порождающий соответствующую прямую, длина которого равна величине желаемого узла поворота, измеряющегося от -π до π

Итого, вращения, т.е. элементы группы SO(3), можно кодировать точками трёхмерного шара радиуса π

(6/8) Такая кодировка вращений неоднозначна, однако единственная неоднозначность состоит в том, что повороты на углы -π и π, совершаемые вокруг одной и той же прямой, совпадают

Таким образом, пространство SO(3) гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар противоположных точек на граничной сфере, то есть трёхмерному проективному пространству RP^3