Подсказка к задаче 3

Индексом точки относительно замкнутой кривой, не содержащей эту точку, называется суммарное число оборотов, совершаемое кривой вокруг этой точки. В примере на рисунке индекс равен +2.

Данная целочисленная характеристика позволяет распознать, зацеплена ли кривая за гвоздь, воткнутый в заданную точку.

А как вычислять индекс быстро, не обходя вдоль всей кривой?

(источник)

Выворачивание тора с дырой

Выворачивание обыкновенного тора (источник)

Ретракция кольца на его среднюю окружность

Ретракция плоскости без начала координат на единичную окружность

Ретракция шайбы на перевёрнутый гриб

Ретракция диска в точку