(1/4) Проективная плоскость RP^2: от пространства линейных прямых в R^3 к пространству антиподальных пар на сфере S^2

(2/4) От пространства антиподов на сфере S^2 к нижней полусфере с телепортом на граничной окружности

(3/4) Разбиение проективной плоскости на диск и ленту Мёбиуса

(4/4) Кривая, дважды обходящая среднюю линию ленты Мёбиуса, стягиваема на проективной плоскости (источник)

Гомотопия отображений сферы с 4 ручками в R^3

1. Повесьте картину на два гвоздя так, чтобы она не упала, но падала при удалении любого из них

2. Среди 59 областей, на которые верёвка на рисунке делит стену, укажите те из них, после вбивания гвоздя в которые картина упадёт

3. Предложите способ, как повесить картину на n гвоздей так, чтобы при удалении любого одного из них она бы падала

Ответ на задачу 1

Подсказка к задаче 3

Индексом точки относительно замкнутой кривой, не содержащей эту точку, называется суммарное число оборотов, совершаемое кривой вокруг этой точки. В примере на рисунке индекс равен +2.

Данная целочисленная характеристика позволяет распознать, зацеплена ли кривая за гвоздь, воткнутый в заданную точку.

А как вычислять индекс быстро, не обходя вдоль всей кривой?