(1/4) Закрепление теоремы Дезарга

(2/4) Доказательство без слов (источник)

(3/4) Выход в пространство: ссылка

(4/4) Утверждение, обратное к теореме Дезарга:

Если три получающиеся точки лежат на одной прямой, то исходные треугольники имеют центр перспективы.

Оно двойственно к самой теореме Дезарга (источник)

Почему во многих учебниках так много технических деталей и так мало озарений? (мнения)

Лекции по аналитической геометрии

1. Геометрическая теория конических сечений
2. Векторная алгебра: ориентированные площадь и объём, векторное произведение
3. Алгебраические кривые
4. Квадрики на плоскости (кривые второго порядка), классификация, ортогональные инварианты и полуинварианты
5. Теоремы Паскаля и Брианшона
6. Полярное соответствие
7. Аффинные преобразования и изомерии. Теорема Шаля.
8. Квадрики в пространстве (поверхности второго порядка), классификация, ортогональные инварианты и полуинварианты
9. Метод Лагранжа, касательные к поверхности, приложения
10. Элементы проективной геометрии, теоремы Дезарга и Паппа, двойное отношение четырех точек
11. Квадрики в проективной геометрии, классификация

Материалы
▪️Видеозаписи
▪️Конспект
▪️Литература

Ортогональная проекция на одномерное подпространство

Какой многочлен лучше всего приближает имеющиеся данные в виде точек?

Ответ даёт метод наименьших квадратов, который основан на ортогональной проекции:

▪️Конспект Тараса Панова
▪️Interactive Linear Algebra
▪️Linear Algebra Stuff

Завтра, 27 апреля (суббота), в 14 00 (до 16 00) в 120 ауд. на 14 линии В.О. состоится восьмое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы рассмотрели различные конструкции векторных полей на плоскости и произвольных поверхностях и обсудили некоторые связанные с ними фундаментальные вопросы. В этот раз мы получим теорему о причёсывании ежа и обобщающую её теорему Эйлера — Пункаре — Хопфа об индексе, которая даёт альтернативное доказательство корректности определения эйлеровой характеристики как поверхностей, так и многообразий произвольных размерностей.

Приглашаются все желающие!

Истинный смысл транспонирования матрицы: ссылка

Кватернионы, повороты пространства и правильные многогранники

Кватернионы — очень естественный математический объект, возникающий как «высший» аналог комплексных чисел. Они получаются, если к вещественным числам присоединить не одну, а сразу три мнимых единицы. При этом, чтобы сохранить другие важные свойства, приходится «пожертвовать» коммутативностью умножения.
Так же как вещественные числа изображаются точками на прямой, а комплексные — на плоскости, кватернионы естественным образом изображаются точками в четырёхмерном пространстве. Тем не менее, оказывается, что наиболее глубоко кватернионы связаны не с четырёхмерной, а с обычной трёхмерной геометрией, точнее, с поворотами трёхмерного пространства. Этой замечательной связи в первую очередь и будет посвящена лекция.
Потом мы всё-таки перейдём в четырёхмерный мир и обсудим, как связь кватернионов и поворотов трёхмерного пространства позволяет, стартуя с групп симметрий трёхмерных правильных многогранников, строить четырёхмерные правильные многогранники: правильный 24-гранник, гранями которого являются правильные октаэдры, правильный 120-гранник, гранями которого являются правильные додекаэдры, и правильный 600-гранник, гранями которого являются правильные тетраэдры. (видеозапись)

Интегрирование вещественнозначной функции двух переменных ("скалярного поля") вдоль кривой

Предлагаем сверить свой учебный курс с ориентировочным учебным планом по геометрии и топологии

Текущий раздел: Выпуклые множества
1. Выпуклые множества, примеры. Выпуклые оболочки и выпуклые комбинации. Симплексы. Лемма Каратеодори, выпуклая оболочка компакта. Теоремы Радона и Хелли. Сумма по Минковскому. Выпуклые конусы.
2. Внутренность и замыкание выпуклого множества, относительная внутренность. Топологическая классификация выпуклых компактов.
3. Теоремы об отделимости, опорные гиперплоскости. Поляры. Теорема о биполяре.
4. Экстремальные (крайние) точки, конечномерная теорема Крейна-Мильмана. Темы для дополнительных заданий: экспонированные точки, теорема Страшевича.
5. Полиэдральные множества, выпуклые многогранники, теорема Вейля-Минковского и следствия.
6. Строение неограниченного выпуклого множества: асимптотический конус, линейная часть. Двойственность конусов. Острые конусы, эквивалентность разных определений. Теорема Вейля-Минковского для конусов и общих полиэдральных множеств.
7. Грани, гиперграни, минимальное представление полиэдрального множества. Темы для дополнительных заданий: решетка граней, лемма Фаркаша, примеры задач линейной оптимизации, применения двойственности.

Завтра, 4 мая (суббота), в 13 40 (до 16 00) в 120 ауд. на 14 линии В.О. состоится девятое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы получили теорему о причёсывании ежа и обобщающую её теорему Эйлера — Пункаре — Хопфа об индексе, которая даёт альтернативное доказательство корректности определения эйлеровой характеристики как поверхностей, так и многообразий произвольных размерностей. Кроме того, мы рассмотрели векторные поля с аналитической точки зрения, обсудив понятия ротора, дивергенции, градиента, и связали анализ с топологией с помощью разложения Гельмгольца — Ходжа — де Рама. В этот раз мы расскажем вам один секрет.

Посетители кружка в своем большинстве достаточно глубоко знакомы с концептом поверхности как абстрактного топологического многообразия (а если говорить не только об ориентированных поверхностях, — то и с вопросами геометрического характера). Следующим шагом на эволюционной лестнице юного маломерного тополога среди прочего может обнаружить себя вопрос поведения теперь уже вложенных поверхностей. И вопрос этот куда более долгоиграющий, чем исходный абстрактный (или чем может показаться).

Мы сделаем первый шаг в сторону изучения ориентируемых поверхностей с краем, вложенных в трехмерное пространство (или трехмерную сферу, если вы читали азбуку), взглянув на них как на оснащение своего собственного края — то есть зацепления. Поверхности Зейферта, как их принято называть, когда вы смотрите на дело в этих очках, скрывают в себе незаурядную топологическую и алгебраическую структуру, знакомство с которой мы начнем с доказательства аддитивности под связным суммированием некоторого топологического инварианта узлов, называемого родом. Примечательно это рассуждение с одной стороны своей неочевидностью, но элементарностью, а с другой — предоставлением возможности в ускоренном формате продемонстрировать ключевую технику работы с вложенными поверхностями, называемую в нашей школе мысли калькулусом поверхностей.

Желаем всем припомнить абстрактную теорию поверхностей второго семестра. Вся необходимая информация, касающаяся теории узлов, будет напомнена в процессе разговора.

Приглашаются все желающие!