Использование проективной геометрии на практике: ссылка

Истинный смысл следа матрицы: ссылка

Глава IV. Проективная геометрия.
1.
▪️Классификация геометрических свойств
▪️Проективные преобразования
2.
▪️Группа проективных преобразований
▪️Теорема Дезарга
3. Двойное отношение
▪️Определение и доказательство инвариантности
▪️Применение к полному четырехстороннику
4.
▪️Идеальные бесконечно удаленные точки.
▪️Идеальные элементы и проектирование
▪️Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами
5.
▪️Двумерное доказательство теоремы Дезарга
▪️Теорема Паскаля
▪️Теорема Брианшона
6. Аналитическое представление
▪️Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности
7. Задачи на построение с помощью одной линейки
8. Конические сечения и квадрики
▪️Элементарная метрическая геометрия
▪️Проективные свойства
▪️Конические сечения как линейчатые кривые
▪️Теоремы Паскаля и Брианшона для конических сечений
▪️Гиперболоид
9. Аксиоматика и нееклидова геометрия
▪️Гиперболическая геометрия
▪️Геометрия и реальность
▪️Модель Пуанкаре
▪️Эллиптическая (риманова) геометрия
(ссылка на книгу)

▪️Квадратная матрица — это кодировка линейного преобразования
▪️Столбцы этой матрицы — это образы базисных векторов относительного этого преобразования
▪️Определитель матрицы — это объём параллелепипеда, натянутого на вектор-столбцы

Образы додекаэдра под действием линейных преобразований R^3

Любое сохраняющее ориентацию движение евклидовой плоскости является композицией поворотов и параллельных переносов

Движения сохраняют длины, площади, углы, отношения параллельности и инцидентности

Любое сохраняющее ориентацию преобразование подобия евклидовой плоскости является композицией поворотов, параллельных переносов и гомотетий.

В отличие от евклидовых изометрий, подобия не сохраняют длины или площади, но сохраняют углы

Образы единичного куба под действием преобразований подобия в R^3

Аффинные преобразования являются гораздо более общими, чем евклидовы изометрии или подобия. Они не обязательно сохраняют углы, длины или площади, но сохраняют параллельность

Плоские аффинные преобразования однозначно определяются образом трёх различных точек (лемма о трёх гвоздях)

Пример преобразования, не являющегося аффинным (т. к. аффинные переводят прямые в прямые)

Плоские проективные преобразования, соответствующие поворотам пространства R^3 вокруг начала координат (источник)

Обратите внимание на то, что ориентация квадрата обращается — красная и синяя стороны меняются местами

Это связано с топологией проективной плоскости RP^2 — она является неориентируемой поверхностью

Плоские проективные преобразования, соответствующие линейным преобразованиям R^3, растягивающим в одном направлении и сжимающим в другом

Плоские проективные преобразования однозначно определяются образом четырёх точек

Проективные преобразования являются ещё более общими, чем аффинные. Они не обязательно сохраняют углы, длины, площади или отношение параллельности, но сохраняют отношение инцидентности

Теорема Паппа: три получающиеся точки лежат на одной прямой (источник)

Теорема, двойственная к теореме Паппа: выделенные прямые пересекаются в одной точке