Завтра, 16 марта (суббота), c 13 40 до 15 40 в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится уже пятое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы доказали теорему Брауэра. Доступны видеозапись и подробный конспект.
В этот раз мы обсудим концепцию раскрасок карт на поверхностях, частным случаем которой является знаменитая проблема четырех красок (случай сферы), и покажем, что в отличие от сферы, на других поверхностях аналогичный вопрос имеет симпатичное и элементарное решение.

Приглашаются все желающие!

Топология линии
1. Идея непрерывности
2. Чем занимается топология?
3. Простейшие топологические инварианты
4. Эйлерова характеристика графа
5. Индекс пересечения
6. Теорема Жордана
7. Что такое линия?
8. Кривая Пеано

Топология поверхностей
9. Теорема Эйлера
10. Поверхности
11. Эйлерова характеристика поверхности
12. Классификация замкнутых ориентируемых поверхностей
13. Классификация замкнутых неориентируемых поверхностей
14. Векторные поля на поверхностях
15. Проблема четырех красок
16. Раскрашивание карт на поверхностях
17. "Дикая сфера"
18. Узлы
19. Коэффициент зацепления

Гомотопии и гомологии
20. Периоды многозначных функций.
21. Фундаментальная группа
22. Клеточные разбиения и полиэдры
23. Накрытия
24. Степень отображения и основная теорема алгебры
25. Группа узла
26. Циклы и гомологии
27. Топологическое произведение
28. Расслоения и спектральные последовательности
29. Теория Морса

(ссылка на книгу)

>[...] Есть и другие случаи, когда я недоумеваю, почему определенные эвристические средства понимания и организации знаний обычно не преподаются. Возьмем понятие нормальных подгрупп. В одной из своих книг В.И. Арнольд заявляет, что подгруппа является нормальной, если она релятивистски (="относительно") инвариантна, но не развивает эту мысль дальше. Это утверждение — хороший пример эвристической аналогии, конкретной в деталях, но общей по духу. Как бы вы это ни сформулировали, безусловно, вы должны дать своим студентам понять, что нормальная подгруппа — это нечто, чья структура инвариантна относительно симметрий родительской группы. В качестве лакмусовой бумажки, ваши ученики должны быть в состоянии определить, являются ли эти подгруппы нормальными с первого взгляда, без вычислений:

Подгруппы группы Isom(R^2) движений евклидовой плоскости:
1. Параллельные переносы в некотором определенном направлении.
2. Параллельные переносы вдоль всех направлений.
3. Параллельные переносы и скользящие симметрии вдоль всех направлений.
4. Отражения относительно всех прямых.
5. Повороты вокруг некоторой определенной точки.
6. Симметрии некоторого замощения плоскости.

Подгруппы группы движений, сохраняющих начало координат:
7. Симметрии правильного многоугольника с центром в начале
8. Отражения относительно всех прямых, проходящих через начало

Я думаю о ненормальных случаях подгрупп так: в них есть что-то неизотропное (="неравномерное"), какая-то структура, которую сохраняет подгруппа, но не сохраняет родительская группа. Например: (продолжение)

Таблица конспектов курсов МКН, составленных студентами: ссылка

Задание линейных отображений на базисе: указание того, куда идёт базис, определяет и все остальные "приказы" (аналогия с генералами)

P. S. Здесь диагональ — инвариантное (собственное) подпространство

Продолжение: это линейное отображение имеет два собственных подпространства — голубое растягивается (собственное число больше единицы), а розовое неподвижно (собственное число равно единице).

Подробнее о геометрическом смысле: мини-курс от 3Blue1Brown на русском

В одном направлении линейное отображение растягивает, а в другом — сжимает

Загадка: по каким траекториям двигаются точки?

Продолжение: траектории движения точек вне инвариантных подпространств лежат на гиперболах

Загадка. А можно ли получить таким образом эллипсы и параболы?

Косой сдвиг (shear) плоскости: точки сдвигаются в направлении заданной прямой пропорционально расстоянию до этой прямой

Загадочное проникновение линейной алгебры в топологию

(смотреть разгадку)

Косая проекция плоскости на ось абсцисс

Завтра, 23 марта (суббота), в 13:40 до 15:40 в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится шестое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы обсуждали цветные карты на поверхностях и доказали гипотезу Хивуда. В этот раз Вася завершит доказательство теоремы Жордана-Шëнфлиса и выведет из неё теорему об инвариантности края для поверхностей. Также во второй части заседания кружка Лëша расскажет несколько занимательных сюжетов из теории узлов.

Приглашаются все желающие!

Учебный план двухгодового курса геометрии и топологии МКН: ссылка

Текущий раздел: Евклидова, аффинная и проективная геометрии.

1. Евклидово скалярное произведение. Примеры. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши-Шварца и неравенство треугольника. Угол между векторами, неравенство треугольника для углов. Ортогональность, ортонормированные наборы. Ортогонализация по Граму-Шмидту и существование ортонормированных базисов. Ортогональное дополнение, ортогональная проекция.

2. Изоморфизм евклидовых пространств, изоморфность евклидовых пространств одинаковой размерности, изометрические линейные отображения и их матрицы, ортогональные преобразования. Ориентация векторного пространства, собственные и несобственные преобразования. Соответствие между векторами и линейными функциями. Векторное произведение.

3. Аффинное пространство, параллельный перенос. Векторизация выбором начала отсчета и аффинные базисы. Барицентрические и сбалансированные комбинации точек.

4. Подпространства, параллельность. Прямые, гиперплоскости. Пересечения подпространств, аффинные оболочки, аффинно независимые наборы точек, барицентрические координаты. Центры масс, группировка масс.

5. Аффинные отображения. Задание аффинного отображения на точечном базисе. Образы и прообразы подпространств, задание подпространств уравнениями. Отрезки и полупространства. Характеризации аффинных отображений.

6. Евклидово аффинное пространство. Нормаль и расстояние до гиперплоскости. Движения, классификация движений в малых размерностях.

7. Знакомство с проективной плоскостью: различные модели. Проективные пространства и подпространства, аффинные карты и проективное пополнение аффинного пространства. Однородные координаты, уравнения подпространств.

8. Проективные отображения, продолжения аффинных, свойства транзитивности. Центральная проекция. Метод отправки на бесконечность, теоремы Дезарга и Паппа. Темы для дополнительных заданий: проективная прямая, двойное отношение.

9. Квадрики. Преобразование уравнений при замене координат. Приведение квадратичной формы к диагональному виду. Евклидова и аффинная классификация квадрик. Двумерный и трехмерный случай.

10. Проективное пополнение квадрики, проективная классификация квадрик. Темы для дополнительных заданий: касательные и двойственность, проективная параметризация коники, теоремы Паскаля и Брианшона.

Какие обратимые линейные преобразования сохраняют целочисленную решетку ZxZ на плоскости RxR?

А какие при этом сохраняют площадь фигур?

Оказывается, имеется ровно три принципиально разных таких преобразования:

1. Косой сдвиг (shear).
2. Поворот (возможно, искривленный)
3. Таинственное преобразование, растягивающее в одном направлении и одновременно сжимающее в другом.

▪️Видеозапись (русские субтитры)
▪️Подробности в формате pdf

Тема, которая может сильно ускорить ваше обучение: расширение матанализа с одной переменной до двух