Возьмём два листа бумаги одинакового размера с нанесенными на них системами координат. Положим один лист на стол, а другой помнём (не разрывая) и положим любым способом поверх первого, не выходя за его пределы. Теорема Брауэра гласит, что найдется хотя бы одна точка скомканного листа, которая лежит непосредственно над соответствующей ей точкой (то есть точкой с теми же координатами) плоского листа.

>К сведению, многие люди действительно используют яркие внутренние аналогии, которые у них есть, когда разговаривают со студентами. Один из моих любимых примеров из бакалавриата — описание линейного преобразования как главнокомандующего, который говорит генералам (базису), куда идти, а те, в свою очередь, говорят всем солдатам (остальные векторы), куда идти. Субординация в действии в классе линейной алгебры. (источник)

Завтра, 16 марта (суббота), c 13 40 до 15 40 в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится уже пятое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы доказали теорему Брауэра. Доступны видеозапись и подробный конспект.
В этот раз мы обсудим концепцию раскрасок карт на поверхностях, частным случаем которой является знаменитая проблема четырех красок (случай сферы), и покажем, что в отличие от сферы, на других поверхностях аналогичный вопрос имеет симпатичное и элементарное решение.

Приглашаются все желающие!

Топология линии
1. Идея непрерывности
2. Чем занимается топология?
3. Простейшие топологические инварианты
4. Эйлерова характеристика графа
5. Индекс пересечения
6. Теорема Жордана
7. Что такое линия?
8. Кривая Пеано

Топология поверхностей
9. Теорема Эйлера
10. Поверхности
11. Эйлерова характеристика поверхности
12. Классификация замкнутых ориентируемых поверхностей
13. Классификация замкнутых неориентируемых поверхностей
14. Векторные поля на поверхностях
15. Проблема четырех красок
16. Раскрашивание карт на поверхностях
17. "Дикая сфера"
18. Узлы
19. Коэффициент зацепления

Гомотопии и гомологии
20. Периоды многозначных функций.
21. Фундаментальная группа
22. Клеточные разбиения и полиэдры
23. Накрытия
24. Степень отображения и основная теорема алгебры
25. Группа узла
26. Циклы и гомологии
27. Топологическое произведение
28. Расслоения и спектральные последовательности
29. Теория Морса

(ссылка на книгу)

>[...] Есть и другие случаи, когда я недоумеваю, почему определенные эвристические средства понимания и организации знаний обычно не преподаются. Возьмем понятие нормальных подгрупп. В одной из своих книг В.И. Арнольд заявляет, что подгруппа является нормальной, если она релятивистски (="относительно") инвариантна, но не развивает эту мысль дальше. Это утверждение — хороший пример эвристической аналогии, конкретной в деталях, но общей по духу. Как бы вы это ни сформулировали, безусловно, вы должны дать своим студентам понять, что нормальная подгруппа — это нечто, чья структура инвариантна относительно симметрий родительской группы. В качестве лакмусовой бумажки, ваши ученики должны быть в состоянии определить, являются ли эти подгруппы нормальными с первого взгляда, без вычислений:

Подгруппы группы Isom(R^2) движений евклидовой плоскости:
1. Параллельные переносы в некотором определенном направлении.
2. Параллельные переносы вдоль всех направлений.
3. Параллельные переносы и скользящие симметрии вдоль всех направлений.
4. Отражения относительно всех прямых.
5. Повороты вокруг некоторой определенной точки.
6. Симметрии некоторого замощения плоскости.

Подгруппы группы движений, сохраняющих начало координат:
7. Симметрии правильного многоугольника с центром в начале
8. Отражения относительно всех прямых, проходящих через начало

Я думаю о ненормальных случаях подгрупп так: в них есть что-то неизотропное (="неравномерное"), какая-то структура, которую сохраняет подгруппа, но не сохраняет родительская группа. Например: (продолжение)

Таблица конспектов курсов МКН, составленных студентами: ссылка