Forwarded from Математика как практика
Нильпотентность в теории групп: дом с этажами
Группа называется нильпотентной, если её нижний центральный ряд,
Аналогия/метафора #наведениемостов
Представьте себе группу как «дом», состоящий из нескольких «этажей». Подгруппа
Класс/ступень нильпотентности группы — число непустых «этажей»: если
Каждый этаж дома устроен просто и понятно (абелев), но взаимодействие между этажами может создавать сложную архитектуру всего здания.
Границы применимости аналогии
В реальной жизни дом однозначно определяется своими этажами и способом их соединения. Однако в теории групп это предсказание ломается, ситуация принципиально иная: знание всех «этажей» (факторов нижнего центрального ряда) и даже способа их соединения не определяет группу однозначно — это фундаментальная проблема расширения в теории групп. Аналогия с домом не учитывает нетривиальные вторые когомологии, отвечающие центральным расширениям: одинаковые по этажам планировки могут быть скреплены по-разному — где поставить лестницу, какие несущие балки — и в результате «дома» окажутся неизоморфными.
Бонус. Чтобы увидеть, как в этой аналогии отражается ключевое свойство
Взаимодействие двух работников организации (коммутатор двух элементов) с уровня
Это — мощный инструмент для развития интуиции нильпотентности. Как вы думаете, какие ещё «здания» в теории групп можно описать подобным образом?
Группа называется нильпотентной, если её нижний центральный ряд,
G_0=G и G_{n+1}=[G,G_n], обрывается на единичной подгруппе. Эквивалентное определение: группа может быть построена из абелевых «блоков» с помощью последовательности центральных расширений.Аналогия/метафора #наведениемостов
Представьте себе группу как «дом», состоящий из нескольких «этажей». Подгруппа
G_n — часть «дома», начиная с этажа n и выше (этаж на земле, ground floor, нулевой). Сам «этаж» — это фактор G_n/G_{n+1} (пространство между G_n и G_{n+1}). Эти факторы всегда абелевы, поэтому «этажи» — «абелевы квартиры».Класс/ступень нильпотентности группы — число непустых «этажей»: если
G_n={1}, то дом имеет высоту n и больше не растёт вверх. Одноэтажные дома (нильпотентные ступени 1) — абелевы группы. Простейшая неабелева нильпотентная группа — дискретная группа Гейзенберга — имеет два «этажа»: Z^2 на нижнем и Z наверху[ Z ] <— этаж 1 (G_1/G_2 = G_1 = коммутант = центр)---- [Z^2] <— этаж 0 (G_0/G_1 = G/G_1 = абелианизация)Каждый этаж дома устроен просто и понятно (абелев), но взаимодействие между этажами может создавать сложную архитектуру всего здания.
Границы применимости аналогии
В реальной жизни дом однозначно определяется своими этажами и способом их соединения. Однако в теории групп это предсказание ломается, ситуация принципиально иная: знание всех «этажей» (факторов нижнего центрального ряда) и даже способа их соединения не определяет группу однозначно — это фундаментальная проблема расширения в теории групп. Аналогия с домом не учитывает нетривиальные вторые когомологии, отвечающие центральным расширениям: одинаковые по этажам планировки могут быть скреплены по-разному — где поставить лестницу, какие несущие балки — и в результате «дома» окажутся неизоморфными.
Бонус. Чтобы увидеть, как в этой аналогии отражается ключевое свойство
[G_p,G_q] ⊆ G_{p+q}, представьте себе, что наш дом — это штаб-квартира крупной организации. Первый этаж — общедоступное лобби, второй — внутренние документы, третий — «секретный архив» и т.д. Чем выше номер этажа — тем ближе к «центру» организации.Взаимодействие двух работников организации (коммутатор двух элементов) с уровня
p и q порождает документ/эффект, который кладут «выше», на уровень p+q. Коммутатор повышает уровень секретности и перемещает на более высокий этаж.Это — мощный инструмент для развития интуиции нильпотентности. Как вы думаете, какие ещё «здания» в теории групп можно описать подобным образом?
🤔5🔥3😁3
Суть теории гомологий 1: циклы и границы
01:50 Симплициальные и клеточные комплéксы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи
(источник)
01:50 Симплициальные и клеточные комплéксы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
21 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 1
21 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤🔥8❤3🔥3👍1
Суть теории гомологий 2: наглядные вычисления
00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера—Вьеториса
(источник)
00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера—Вьеториса
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
22 июля 2023 г. 17:15–18:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 2
22 июля 2023 г. 17:15–18:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤6👍3🔥1
Суть теории гомологий 3: когомологии
00:00 Панорамный вид
10:00 Последовательность Майера—Вьеториса интуитивно
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)
(источник)
00:00 Панорамный вид
10:00 Последовательность Майера—Вьеториса интуитивно
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
24 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 3
24 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
❤🔥5
Суть теории гомологий 4: одушевление когомологий
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
(источник)
00:00 Ортогональное дополнение циклов — это кограницы
08:36 Пространство гармонических цепей
09:35 Разложение Ходжа—де Рама
14:35 Гомологии изоморфны гармоническим цепям
21:05 Гомологии = когомологии над полем характеристики 0
22:51 Пример: циклы на торе, которые не гармонические цепи
25:56 Что происходит в полях ненулевой характеристики
28:04 Гомологии многообразий: двойственность Пуанкаре
30:04 Оператора Лапласа и его геометрический смысл
34:07 Дискретный оператор Лапласа
38:21 Температура и мыльные плёнки
41:37 Гармонические функции и ядро оператора Лапласа
46:00 Дискретная задача теплопроводности
53:58 Случайные блуждания: прогулки пьяницы
57:47 Электрические цепи и законы Кирхгофа
01:03:13 Обращение граничного оператора
01:08:20 Эйлерова характеристика и гомологии
Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент. (источник)
Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.
Пререквизиты
Линейная алгебра: векторные пространства, линейные отображения, матрицы, скалярное произведение.
(источник)
YouTube
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
Г.Ю. Панина. Гармонические цепи. Семинар 4
25 июля 2023 г. 11:15–12:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
Источник: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_l…
👍6
Введение в теорию Галуа
00:00 Расширения полей
03:22 Группы Галуа
08:20 Неразрешимость уравнений пятой степени и выше
(источник)
00:00 Расширения полей
03:22 Группы Галуа
08:20 Неразрешимость уравнений пятой степени и выше
(источник)
YouTube
The Insolvability of the Quintic
This video is an introduction to Galois Theory, which spells out a beautiful connection between fields and their Galois Groups. Using this, we'll prove that the quintic has no general formula in radicals.
__
SOURCES and REFERENCES for further reading!
As…
__
SOURCES and REFERENCES for further reading!
As…
🔥6🤔4❤🔥2❤1
Владеете ли вы английским в достаточной мере, чтобы слушать математические лекции?
Anonymous Poll
18%
Я совсем не могу слушать лекции на английском (и не слушаю)
9%
Я совсем не могу слушать лекции на английском (но слушаю их, используя переводчик видео)
20%
Я могу слушать лекции на английском, но только с русскими субтитрами
34%
Я могу слушать лекции на английском с английскими субтитрами
50%
Я могу слушать лекции на английском без субтитров
Основная теорема теории Галуа
00:00 Геометрический взгляд
06:04 Поля и их автоморфизмы
08:55 Примеры
16:34 Теория групп
18:25 Основная теорема
(источник)
00:00 Геометрический взгляд
06:04 Поля и их автоморфизмы
08:55 Примеры
16:34 Теория групп
18:25 Основная теорема
(источник)
YouTube
What is the square root of two? | The Fundamental Theorem of Galois Theory
This video is an introduction to Galois Theory, which spells out a beautiful correspondence between fields and their symmetry groups.
__
SOURCES and REFERENCES for Further Reading!
This video is a quick-and-dirty introduction to Galois theory. But as…
__
SOURCES and REFERENCES for Further Reading!
This video is a quick-and-dirty introduction to Galois theory. But as…
❤8
Какое уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах
00:00 Теорема Абеля—Руффини
04:38 Группы Галуа
11:15 Круговые расширения и расширения Куммера
19:43 Башни расширений
27:25 Разрешимость в радикалах vs теория групп
35:23 Что произошло интуитивно
(источник)
00:00 Теорема Абеля—Руффини
04:38 Группы Галуа
11:15 Круговые расширения и расширения Куммера
19:43 Башни расширений
27:25 Разрешимость в радикалах vs теория групп
35:23 Что произошло интуитивно
(источник)
YouTube
Why you can't solve quintic equations (Galois theory approach) #SoME2
An entry to #SoME2. It is a famous theorem (called Abel-Ruffini theorem) that there is no quintic formula, or quintic equations are not solvable; but very likely you are not told the exact reason why. Here is how traditionally we knew that such a formula…
💅3
Введение в алгебраическую теорию чисел
00:00 Числовые кольца
04:46 Идеалы
08:55 Гауссовы (факториальные) кольца
11:41 Группа классов идеалов
14:53 Теория Ивасавы
(источник)
00:00 Числовые кольца
04:46 Идеалы
08:55 Гауссовы (факториальные) кольца
11:41 Группа классов идеалов
14:53 Теория Ивасавы
(источник)
YouTube
Algebraic number theory - an illustrated guide | Is 5 a prime number?
This video is an introduction to Algebraic Number Theory, and a subfield of it called Iwasawa Theory. It describes how prime numbers factor in infinite towers of number rings.
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable…
Help fund future projects: https://www.patreon.com/aleph0
An equally valuable…
❤5
Введение в теорию модулярных форм
00:00 Эллиптические кривые
03:26 Модулярные формы
07:26 Гипотеза Таниямы-Шимуры
08:02 Великая теорема Ферма
(источник)
00:00 Эллиптические кривые
03:26 Модулярные формы
07:26 Гипотеза Таниямы-Шимуры
08:02 Великая теорема Ферма
(источник)
YouTube
Elliptic Curves and Modular Forms | The Proof of Fermat’s Last Theorem
Elliptic curves, modular forms, and the Taniyama-Shimura Conjecture: the three ingredients to Andrew Wiles’ proof of Fermat’s Last Theorem.
This is by far the hardest video I've ever had to make: both in terms of learning the content and explaining it. So…
This is by far the hardest video I've ever had to make: both in terms of learning the content and explaining it. So…
👍5
Forwarded from Math Atlas 102
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Введение в алгебраическую геометрию
00:00 Мост между алгеброй и геометрией
03:04 Зачем изучать координатные кольца
03:54 Как алгебра детектирует приводимость и сингулярность
05:15 Интуитивные рассуждения
06:00 Зачем может пригодиться матанализ
07:59 Как самостоятельно придумать схемы
(источник + перевод)
00:00 Мост между алгеброй и геометрией
03:04 Зачем изучать координатные кольца
03:54 Как алгебра детектирует приводимость и сингулярность
05:15 Интуитивные рассуждения
06:00 Зачем может пригодиться матанализ
07:59 Как самостоятельно придумать схемы
(источник + перевод)
🥰5
Audio
Счастливая карьера в математике
00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам
(источник + перевод) @geomtop24
00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам
(источник + перевод) @geomtop24
👍5❤2🔥1