Суть комплексного анализа

01:31 План мини-курса
02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham
02:58 Введение в комплексные числа
10:09 Декартовы и полярные координаты
10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство
12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство
16:01 Сложение и вычитание
17:10 Умножение
19:04 Сопряжение
20:43 Деление
22:21 Возведение в степень
23:09 Логарифмирование
24:48 Синус и косинус
26:54 Формула Муавра
27:46 Извлечение корней
31:51 Формула Эйлера возвращается
34:10 Выводы

Комплексный анализ — невероятно мощный инструмент, находящий приложения в дифференциальных уравнениях (уравнения Лапласа, обратные преобразования Фурье/Лапласа), основной теореме алгебры, теории чисел, гипотезе Римана и вычислении красивых интегралов (чтобы повыпендриваться!)
Мы начинаем мини-курс, который сосредоточен на визуальном восприятии идей комплексного анализа, а не на традиционном строгом подходе. Мы не коснёмся сильно продвинутых тем вроде теоремы Римана об отображении или теоремы Пикара, но получим уверенное базовое представление о предмете. (источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса)

00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии

(источник)

Визуализация комплексных функций

01:03 Использование цвета
03:35 Трёхмерные графики
05:45 Векторные поля
07:50 z-w-плоскость
10:53 Сфера Римана

13:42 Примеры
14:43 Добавление константы
16:33 Умножение на константу
19:58 Экспоненциирование
23:29 Возведение в целую степень
27:53 Комплексная инверсия
29:21 Ветви квадратного корня
34:29 Римановы поверхности
36:35 Логарифм
40:33 Спиральный график логарифма

(источник)

Преобразования Мёбиуса

02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности)
08:31 Свойства инверсии
14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы)
19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана
22:37 Гиперболическая геометрия
23:12 Комплексная геометрия
23:24 Математическая физика

(источник)

Голоморфные (аналитические) функции

1:53 Производная в вещественном смысле
4:31 Дифференциал гладкого отображения наглядно
9:17 Производная в комплексном смысле
13:02 Конформность (сохранение углов)
16:01 Условия Коши-Римана интуитивно

(источник)

Ротор и дивергенция: наглядное объяснение

0:00 Векторные поля
2:24 Дивергенция
4:40 Ротор
5:57 Уравнения Максвелла: электрические и магнитные поля
7:50 Динамические системы
10:46 Геометрический смысл: скалярное и векторное произведения

(источник)

Две интуитивные версии теоремы Грина

00:00 Изначальная формулировка (источник)

01:09 Приложения:
01:42 Динамические системы и теория индекса
01:55 Комплексный анализ и теорема о вычетах
02:18 Предвкушение формулы Стокса (источник)

03:09 1. Формула Грина о роторе
04:02 2. Формула Грина о дивергенции
04:44 Сравнение плотностей (источник)

07:41 Правильная формулировка
09:11 Физическая [интуитивная] интерпретация (источник)

Из серии «Calculus BLUE»

Одна формула, чтобы править всеми

00:27 Формула Ньютона-Лейбница
00:57 Формула Грина о роторе
02:19 Формула Гаусса-Остроградского о дивергенции в 3D
02:53 Формула Грина о дивергенции в 2D
03:07 Внешняя производная
03:57 Теорема Стокса
04:56 Интегрирование vs дифференцирование

(источник)

Дифференцирование, которому вас не учили

00:00 Производная
1:08 Гомологии
3:41 Когомологии
7:45 Теорема де Рама
9:02 Панчлайн

(источник)

Комплексное интегрирование на понятном языке

00:00 Две интуиции вещественного интегрирования
05:54 Визуализация методом Пойи [Pólya vector field]
08:14 Интеграл — это работа и поток векторного поля Пойи
12:17 Теорема Коши (интеграл по замкнутому контуру нулевой)
17:23 Интегрирование 1/z наглядно
21:12 Другие степени z
27:10 Интегральная формула Коши
30:28 Теорема о вычетах и как её использовать
35:00 В чём прикол?

(источник)

Аналитическое продолжение комплексных функций

01:14 Дзета-функция Римана
07:39 Визуализация
10:48 1+2+3+4+...
13:58 Аналитические функции
15:28 Аналитическое продолжение интуитивно
17:24 Гипотеза Римана
20:01 Единственность продолжения и -1/12

(источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады

01:00 Формулировка
02:00 Двумерный аналог
03:04 Вероятность попадания на дугу
04:29 Перенос в 3D
05:24 Интегрирование
07:38 Изящное решение
08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра

(источник)

Три уровня понимания формулы Байеса

0:00 Думай медленно, решай быстро
4:09 Формулировка
10:13 Интуитивное понимание
13:35 Распространённая ошибка

(источник)

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса

00:19 Симметричность
01:15 Приложения
01:45 Распространенное заблуждение
02:38 Независимость событий
02:55 Геймифицированные примеры

(источник)

Что лучше: когда у продавца более высокий рейтинг или больше отзывов?

00:28 Интуитивное объяснение
01:39 Правило наследования Лапласа
03:00 Основная модель
06:21 Биномиальное распределение
09:04 График вероятности
10:56 Вероятность успеха
11:36 Максимизация вероятности

(источник)

Почему "вероятность 0" не означает "невозможно"

00:41 Парадокс
02:24 Практическое использование
04:20 Плотность вероятностей
05:02 Функция плотности
06:02 Теория меры
09:12 Заключение

(источник)

Теория Ли: группы, алгебры и скобки

01:26 Группы ли как группы
05:41 Группы Ли как многообразия
10:23 Алгебры Ли
14:16 Скобки Ли
18:03 Панорамный вид на теорию Ли

(источник)

Теория Ли: вращение в многомерных пространствах

00:00 Введение
01:04 Вещественные повороты
07:03 Комплексные повороты
11:35 Теория Ли

(источники: 1 и 2)

Теория Ли: единообразие возведения в степень

01:03 Что такое экспоненциирование
04:15 Векторы
11:23 Операторы дифференцирования
24:04 Векторные поля

(источник)

Суть дифференциального исчисления 6: как и зачем возводить число e в степень-матрицу

0:00 Экспоненциирование матриц
6:39 Динамика любви наглядно
13:16 Линейные динамические системы интуитивно
20:03 Четыре лика поворотов
22:10 Визуализация потока векторного поля

(источник)