Интегрирование вещественнозначной функции двух переменных ("скалярного поля") вдоль кривой

Предлагаем сверить свой учебный курс с ориентировочным учебным планом по геометрии и топологии

Текущий раздел: Выпуклые множества
1. Выпуклые множества, примеры. Выпуклые оболочки и выпуклые комбинации. Симплексы. Лемма Каратеодори, выпуклая оболочка компакта. Теоремы Радона и Хелли. Сумма по Минковскому. Выпуклые конусы.
2. Внутренность и замыкание выпуклого множества, относительная внутренность. Топологическая классификация выпуклых компактов.
3. Теоремы об отделимости, опорные гиперплоскости. Поляры. Теорема о биполяре.
4. Экстремальные (крайние) точки, конечномерная теорема Крейна-Мильмана. Темы для дополнительных заданий: экспонированные точки, теорема Страшевича.
5. Полиэдральные множества, выпуклые многогранники, теорема Вейля-Минковского и следствия.
6. Строение неограниченного выпуклого множества: асимптотический конус, линейная часть. Двойственность конусов. Острые конусы, эквивалентность разных определений. Теорема Вейля-Минковского для конусов и общих полиэдральных множеств.
7. Грани, гиперграни, минимальное представление полиэдрального множества. Темы для дополнительных заданий: решетка граней, лемма Фаркаша, примеры задач линейной оптимизации, применения двойственности.

Завтра, 4 мая (суббота), в 13 40 (до 16 00) в 120 ауд. на 14 линии В.О. состоится девятое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы получили теорему о причёсывании ежа и обобщающую её теорему Эйлера — Пункаре — Хопфа об индексе, которая даёт альтернативное доказательство корректности определения эйлеровой характеристики как поверхностей, так и многообразий произвольных размерностей. Кроме того, мы рассмотрели векторные поля с аналитической точки зрения, обсудив понятия ротора, дивергенции, градиента, и связали анализ с топологией с помощью разложения Гельмгольца — Ходжа — де Рама. В этот раз мы расскажем вам один секрет.

Посетители кружка в своем большинстве достаточно глубоко знакомы с концептом поверхности как абстрактного топологического многообразия (а если говорить не только об ориентированных поверхностях, — то и с вопросами геометрического характера). Следующим шагом на эволюционной лестнице юного маломерного тополога среди прочего может обнаружить себя вопрос поведения теперь уже вложенных поверхностей. И вопрос этот куда более долгоиграющий, чем исходный абстрактный (или чем может показаться).

Мы сделаем первый шаг в сторону изучения ориентируемых поверхностей с краем, вложенных в трехмерное пространство (или трехмерную сферу, если вы читали азбуку), взглянув на них как на оснащение своего собственного края — то есть зацепления. Поверхности Зейферта, как их принято называть, когда вы смотрите на дело в этих очках, скрывают в себе незаурядную топологическую и алгебраическую структуру, знакомство с которой мы начнем с доказательства аддитивности под связным суммированием некоторого топологического инварианта узлов, называемого родом. Примечательно это рассуждение с одной стороны своей неочевидностью, но элементарностью, а с другой — предоставлением возможности в ускоренном формате продемонстрировать ключевую технику работы с вложенными поверхностями, называемую в нашей школе мысли калькулусом поверхностей.

Желаем всем припомнить абстрактную теорию поверхностей второго семестра. Вся необходимая информация, касающаяся теории узлов, будет напомнена в процессе разговора.

Приглашаются все желающие!

Линейная гомотопия путей на плоскости

Гомотопия петель на торе

На сфере любая петля стягивается

Гомотопия петель на кольце

Стягиваемая петля на торе

Стягиваемая петля на сфере с двумя ручками

Гомотопия отображений из окружности S^1 в R^3