Аффинные преобразования являются гораздо более общими, чем евклидовы изометрии или подобия. Они не обязательно сохраняют углы, длины или площади, но сохраняют параллельность

Плоские аффинные преобразования однозначно определяются образом трёх различных точек (лемма о трёх гвоздях)

Пример преобразования, не являющегося аффинным (т. к. аффинные переводят прямые в прямые)

Плоские проективные преобразования, соответствующие поворотам пространства R^3 вокруг начала координат (источник)

Обратите внимание на то, что ориентация квадрата обращается — красная и синяя стороны меняются местами

Это связано с топологией проективной плоскости RP^2 — она является неориентируемой поверхностью

Плоские проективные преобразования, соответствующие линейным преобразованиям R^3, растягивающим в одном направлении и сжимающим в другом

Плоские проективные преобразования однозначно определяются образом четырёх точек

Проективные преобразования являются ещё более общими, чем аффинные. Они не обязательно сохраняют углы, длины, площади или отношение параллельности, но сохраняют отношение инцидентности

Теорема Паппа: три получающиеся точки лежат на одной прямой (источник)

Теорема, двойственная к теореме Паппа: выделенные прямые пересекаются в одной точке

Теорема Дезарга: если треугольники имеют центр перспективы, то три получающиеся точки лежат на одной прямой

Завтра, 13 апреля (суббота), в 13:40 (до 15:40) в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится седьмое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

На прошлых занятиях мы обсуждали раскраски карт на поверхностях и доказательства сильной формы теоремы Жордана — Шёнфлиса и теорем "об инвариантности области" и "об инвариантности края" для поверхностей. В этот раз мы подробно обсудим наглядный сюжет о векторных полях на поверхностях, новый взгляд на формулу Эйлера, теорему о причёсывании ежа и обобщающую её теорему Пункаре — Хопфа об индексе, которая даёт альтернативное доказательство корректности определения эйлеровой характеристики как поверхностей, так и многообразий произвольных размерностей.

Приглашаются все желающие!

Проективная двойственность, полярное преобразование и главные теоремы: ссылка