Задание линейных отображений на базисе: указание того, куда идёт базис, определяет и все остальные "приказы" (аналогия с генералами)

P. S. Здесь диагональ — инвариантное (собственное) подпространство

Продолжение: это линейное отображение имеет два собственных подпространства — голубое растягивается (собственное число больше единицы), а розовое неподвижно (собственное число равно единице).

Подробнее о геометрическом смысле: мини-курс от 3Blue1Brown на русском

В одном направлении линейное отображение растягивает, а в другом — сжимает

Загадка: по каким траекториям двигаются точки?

Продолжение: траектории движения точек вне инвариантных подпространств лежат на гиперболах

Загадка. А можно ли получить таким образом эллипсы и параболы?

Косой сдвиг (shear) плоскости: точки сдвигаются в направлении заданной прямой пропорционально расстоянию до этой прямой

Загадочное проникновение линейной алгебры в топологию

(смотреть разгадку)

Косая проекция плоскости на ось абсцисс

Завтра, 23 марта (суббота), в 13:40 до 15:40 в 201 ауд. на 14 линии В.О. состоится шестое занятие «Кружка по геометрии и топологии»!

В прошлый раз мы обсуждали цветные карты на поверхностях и доказали гипотезу Хивуда. В этот раз Вася завершит доказательство теоремы Жордана-Шëнфлиса и выведет из неё теорему об инвариантности края для поверхностей. Также во второй части заседания кружка Лëша расскажет несколько занимательных сюжетов из теории узлов.

Приглашаются все желающие!

Учебный план двухгодового курса геометрии и топологии МКН: ссылка

Текущий раздел: Евклидова, аффинная и проективная геометрии.

1. Евклидово скалярное произведение. Примеры. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши-Шварца и неравенство треугольника. Угол между векторами, неравенство треугольника для углов. Ортогональность, ортонормированные наборы. Ортогонализация по Граму-Шмидту и существование ортонормированных базисов. Ортогональное дополнение, ортогональная проекция.

2. Изоморфизм евклидовых пространств, изоморфность евклидовых пространств одинаковой размерности, изометрические линейные отображения и их матрицы, ортогональные преобразования. Ориентация векторного пространства, собственные и несобственные преобразования. Соответствие между векторами и линейными функциями. Векторное произведение.

3. Аффинное пространство, параллельный перенос. Векторизация выбором начала отсчета и аффинные базисы. Барицентрические и сбалансированные комбинации точек.

4. Подпространства, параллельность. Прямые, гиперплоскости. Пересечения подпространств, аффинные оболочки, аффинно независимые наборы точек, барицентрические координаты. Центры масс, группировка масс.

5. Аффинные отображения. Задание аффинного отображения на точечном базисе. Образы и прообразы подпространств, задание подпространств уравнениями. Отрезки и полупространства. Характеризации аффинных отображений.

6. Евклидово аффинное пространство. Нормаль и расстояние до гиперплоскости. Движения, классификация движений в малых размерностях.

7. Знакомство с проективной плоскостью: различные модели. Проективные пространства и подпространства, аффинные карты и проективное пополнение аффинного пространства. Однородные координаты, уравнения подпространств.

8. Проективные отображения, продолжения аффинных, свойства транзитивности. Центральная проекция. Метод отправки на бесконечность, теоремы Дезарга и Паппа. Темы для дополнительных заданий: проективная прямая, двойное отношение.

9. Квадрики. Преобразование уравнений при замене координат. Приведение квадратичной формы к диагональному виду. Евклидова и аффинная классификация квадрик. Двумерный и трехмерный случай.

10. Проективное пополнение квадрики, проективная классификация квадрик. Темы для дополнительных заданий: касательные и двойственность, проективная параметризация коники, теоремы Паскаля и Брианшона.

Какие обратимые линейные преобразования сохраняют целочисленную решетку ZxZ на плоскости RxR?

А какие при этом сохраняют площадь фигур?

Оказывается, имеется ровно три принципиально разных таких преобразования:

1. Косой сдвиг (shear).
2. Поворот (возможно, искривленный)
3. Таинственное преобразование, растягивающее в одном направлении и одновременно сжимающее в другом.

▪️Видеозапись (русские субтитры)
▪️Подробности в формате pdf

Тема, которая может сильно ускорить ваше обучение: расширение матанализа с одной переменной до двух

Задачник, в котором есть ответы и решения (зачастую, сразу несколько) к следующим задачам из общего списка:
24 (см. 64), 25 (см. 62), 26 (см. 68), 27 (59 и 70), 31 (72), 35 (65), 37 (66), 42-48 (73-79)

Введение в проективную геометрию и её окрестности: ссылка

1. Симметрии простейших фигур и основные определения
2. Абстрактные группы; задание групп определяющими соотношениями
3. Конечные подгруппы в группе S0(3) и платоновы тела
4. Дискретные подгруппы в группе изометрий плоскости. Замощения
5. Группы отражений и геометрии Кокстера
6. Перечень классических непрерывных геометрий (евклидовы, аффинные, проективные,...)
7. Модель Пуанкаре гиперболической геометрии на круге
8. Модель Пуанкаре на полуплоскости
9. Модель Кэли — Клейна
10. Тригонометрия на гиперболической плоскости и абсолютные константы
11. История неевклидовой геометрии
12. Проективная геометрия
13. «Проективная геометрия — это вся геометрия»
14. Конечные геометрии
15. Иерархия геометрий
16. Морфизмы геометрий

(ссылка)

Задание линейных отображений на базисе