Суммы Римана и интегралы обе преследуют цель вычислить площадь под кривой, но отличаются точностью и методом.
Сумма Римана — это приближение, при котором площадь оценивается как сумма площадей прямоугольников, расположенных под кривой. Ширина каждого прямоугольника определяется разбиением интервала, а высота берётся из значения функции в выбранной точке внутри каждого подинтервала (например, в левой границе, правой границе или середине). При увеличении числа прямоугольников точность приближения возрастает.

Интеграл же представляет собой точное значение площади под кривой и определяется как предел суммы Римана при стремлении числа прямоугольников к бесконечности и их ширины — к нулю.
Иными словами, суммы Римана — это ступени, а определённый интеграл — это конечная цель.

Подпространства в ℝ³ за минуту

У линейных подпространств в ℝ³ всего четыре типа — именно их и шутливо показали на меме:

• {0} — только нулевой вектор.
• Прямая через начало: span(d) = { t·d }.
• Плоскость через начало: { p | n·p = 0 } = ker(nᵀ).
• Всё пространство ℝ³.

Как понять, что множество — подпространство:
1) 0 ∈ S
2) Замкнутость по умножению на скаляр: αx ∈ S
3) Замкнутость по сложению: x + y ∈ S

Быстрые примеры:
• z = 0 — подпространство (плоскость через начало).
• z = 1 — уже не подпространство (нет нулевого вектора, нет замкнутости).

Запомнить просто: линейные подпространства всегда проходят через начало координат.

🌌 Математический мем в стиле «Звёздных войн»

Внизу — маленький Энакин:
зовая основная теорема анализа — интеграл от производной равен приращению функции.

А тень — Дарт Вейдер, то есть «взрослая форма»:

Это обобщённая теорема Стокса, которая объединяет под собой все классические результаты: Ньютона–Лейбница, Грина, Остроградского–Гаусса и Стокса.

⚡️ Смысл мема: основная теорема анализа — лишь маленький частный случай великой теоремы Стокса.

📚 Mathos (ранее MathGPT Pro) — ИИ-репетитор по математике

Mathos — это умная платформа на базе искусственного интеллекта, которая помогает решать задачи по математике: от алгебры до высшей математики. Подходит и школьникам, и студентам, и преподавателям.

✨ Возможности:
- На 20% точнее GPT-4o при решении задач по математике и STEM
- Поддерживает ввод с фото, PDF, голосом, текстом или рисунком
- Пошаговые объяснения + интерактивные графики и аннотации
- Доверие более 1 млн студентов в 200+ странах
- Стартап из акселератора Y Combinator (Winter 2024), офис в Калифорнии

Идеально для самоподготовки, помощи с домашкой, подготовки к экзаменам и для учебных занятий.

http://mathgptpro.com/

#AI #EdTech #Math #Образование

🚨 Новый отчёт от Epoch AI: GPT-5 значительно превосходит GPT-4

Хотя запуск GPT-5 прошёл тише, чем громкий дебют GPT-4, цифры показывают обратное — это снова огромный скачок, как когда-то между GPT-3 и GPT-4.

📊 Рост по ключевым бенчмаркам:
🧠 +67% на HumanEval
📚 +80% на Mock AIME
📈 +75% на продвинутой математике (Level 5 MATH)

Итог: GPT-5 подтверждает тренд — каждое поколение приносит качественный прорыв в возможностях моделей.

https://epoch.ai/data-insights/gpt-capabilities-progress